2015年冬の陣 問題

2015年冬の陣 問題


第1問

 座標平面において原点で$x$軸と接し、中心の$y$座標が正である円を$C_1$とする。原点$O$を通る直線$l$と円$C_1$との交点のうち原点でない方を点$A$とし、線分$OA$を直径とする円を$C_2$とする。$C_1$、$C_2$の内部 および円周に属する領域をそれぞれ$D_1$、$D_2$とするとき、$D_1$と$D_2$の和集合の領域の面積が最大とな るときの直線$l$の傾きを求めよ。ただし領域$D_1$、$D_2$の和集合の領域とは、$D_1$、$D_2$の少なくともいずれかに属する領域のことである。


第2問

 座標平面上において点$A$を$(0,0)$、点$B$を$(k,0)$とする。また点$P$を$(t,t^2-2t+2)$、点$Q$を$(t+2,t^2-2t+2)$とする。ただし$k \ (k>0)$、$t$は任意の実数である。以下では三角形$ABP$を$T_P$、 三角形$ABQ$を$T_Q$とする。

(1)$T_P$と$T_Q$の両方に同時に含まれる点の成す集合を領域$T$とし、領域$T$の面積を$S_1$とする。$k=4$ のとき、$S_1$を$t$で表せ。

(2) $T_P$または$T_Q$のいずれかに含まれる点が成す図形のうち、図形$T$に含まれない部分の面積を$S_2$とする。このとき等式$$4kaS_1-(k-4)bS_2=0$$を成立させる実数$a$、$b$について、点$(a,b)$の動きうる領域を$ab$平面上に図示せよ。


第3問

 曲線$D$:$y=x(x-3)^2$と直線 $l$:$y=a$ がある。曲線$D$と直線$l$は異なる交点を3個もち、それらを$x$座標の小さい順からそれぞれ点$A$、$B$、$C$とする。点$A$、$B$からそれぞれ$x$軸に下ろした垂線の足を 点$H$、$G$とし、長方形$ABGH$の面積を$S$とおく。 $S$の値が最大となるとき、点$C$の座標を求めよ。


第4問

 すべての辺の長さが等しい、正四面体と正四角錐がある。これらをそれぞれの正三角形の面でぴったり貼り合わせてできる立体は何面体か。


第5問

 $p$、$q$を整数とするとき、次の等式$$(5+3q)p^2+(10q+3q^2)p+5(q^2-403)=0$$を満たす$p$、$q$の組をすべて求めよ。


第6問

 $xy$平面上に放物線$P$:$y=x^2$ と、傾きの和が$0$となるような2直線 $l_1$、$l_2$ があり、$l_1$と$l_2$は領域 $y>x^2$ 上の点$E$で交わる。ただし $l_1$、$l_2$ は $x$、$y$ 軸のいずれにも平行ではないものとする。

(1)放物線$P$と$l_1$の交点を$A$、$B$、放物線$P$と$l_2$の交点を$C$、$D$とする。このとき、4点$A$、$B$、$C$、$D$が 同一円周上に存在することを示せ。

(2)4点$A$、$B$、$C$、$D$を通る円の中心を点$Q$とする。$l_1$の傾きが$1$、$EQ<2$であるとき、点$E$の動きうる領域を図示せよ。


問題は以上である。

(2015/03/06公開 ©理系のための備忘録)


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