2016年冬の陣 問題

2016年冬の陣 問題


第1問

(1)命題$P$を

「$\triangle ABC$において、辺$BC$の中点を$M$とすれば、等式$${AB}^2+{AC}^2=2({AM}^2+{BM}^2)$$が成立する。」

とする。命題$P$の真偽を調べよ。

(2)命題$Q$を

「$\triangle ABC$において、直線$BC$上に点$M$をとり、等式$${AB}^2+{AC}^2=2({AM}^2+{BM}^2)$$が成立するならば、点$M$は辺$BC$の中点である。」

とする。命題$Q$の真偽を調べよ。


第2問

 $n$を$2$以上の整数とする。

(1)$n$人で一回ジャンケンをして、あいこになる確率を$p_n$とする。このとき $\displaystyle \lim_{n \to \infty} p_n=1$ を示せ。

(2)$n$人で一回ジャンケンをして、勝者が$N$人になる確率を$P_n (N)$とする。このとき $E_n=\displaystyle \sum_{N=1}^{n-1} \left\{N \cdot P_n (N) \right\}$ を求めよ。さらに$E_n$の最大値と、そのときの$n$の値を求めよ。


第3問

一辺の長さが$1$である立方体$OABC$-$DEFG$が下の図のように、点$E$が軸上に、点$C$が軸上に、点$O$が原点に存在するように空間に配置されている。

$xy$平面が平板になっているとして、立方体$OABC$-$DEFG$が$x$軸の周りに一回転できるためには少なくともどれだけの面積の平板をくりぬく必要があるか。


第4問

 $n$は自然数とする。

(1)数列$\{a_n\}$を $a_n=n \cos^n⁡ 2016°$で定めるとき、$L_a=\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n a_k$ を求めよ。

(2)数列$\{b_n\}$を $b_n=\dfrac{1}{n} \cos^n⁡ 2016°$、数列$\{c_n\}$を $c_n=\dfrac{1}{2^n} \cos^n⁡ 2016°$とそれぞれ定めるとき、$L_a$ と $L_b=\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n b_k$、および $L_c=\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n c_k$ の大小を比較せよ。


第5問

(1)ある$n$、$k$、$A$(いずれも自然数)について等式$$\sqrt{n^2+k}=A$$が成立するための必要十分条件が以下の条件($\mathrm{R}$)であることを示せ。

条件($\mathrm{R}$):「$k$が奇数 または $4$の倍数である」

(2)等式 $\sqrt{n^2+2016}=A$ を満たす自然数の組$(A,n)$をすべて求めよ。


第6問

 $n$を自然数、$x$、$y$を$0$でない正の実数として$$f_n (x,y)=\dfrac{(x+py)^n}{qx^n+y^n}$$と定め、$f_n (x,y)$の最大値を$M_n$とする。ただし $p \geqq 1$、$q \geqq 1$ である。

(1)$p=q=1$ のとき、$M_n$を求めよ。

(2)$M_n$を$p$、$q$を用いて表し、極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{M_{n+1}}$を求めよ。

(3)一般の$p$、$q$について、$M_n$が単調増加数列であることを示せ。


問題は以上である。

(2016/01/25公開 ©理系のための備忘録)


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