2016年夏の陣 問題

2016年夏の陣 問題


第1問

 半径$1$の球面上に異なる$2$点$P$、$Q$を任意にとり、線分$PQ$を $k:k^2+2$ に内分する点を$N$とするとき、点$N$の動きうる領域の体積の最大値と、そのときの$k$の値を求めよ。ただし$k$は正の実数である。


第2問

 複素数平面上において、点列$\{z_n\}$を

$z_0=r$、$z_{n+1}=i z_n+\alpha \ (n=0,1,2,\cdots)$

で定める。ただし$r$は正の実数、$\alpha$は複素数、$i$は虚数単位とする。このとき以下の問いに答えよ。

(1)点列$\{z_n\}$に現れる点がただ$1$個のとき、$\alpha$を求めよ。

(2)点列$\{z_n\}$に現れる点がちょうど$2$個のみにはならないことを示せ。

(3)点列$\{z_n\}$に現れる点がちょうど$m$個($m \ne 1$)になるとするとき、$m$をすべて求めよ。
また、その$m$個の点を順に結んでできる$m$角形の面積$S$を$r$、$\alpha$で表し、さらに $\alpha=2+i$ のとき$S$の最小値とそのときの$r$の値を求めよ。


第3問

 伝言ゲームとは、参加者が1列に並び、お題となるメッセージを先頭の人から1人ずつ耳打ちで順に伝えていき、最後の人が伝えられたメッセージを答え、その答えが元のお題とどれだけ違っているかを楽しむという万国共通の遊びである。これをモデル化して考えよう。

 お題は$n$個示され、参加者はこの$n$個のメッセージを次の人に一度で説明しなければならない。すべての参加者はどのメッセージも$p$の確率で正しく説明するものとする。ただし、最後の人は前の人から聞いたメッセージをそのまま誤りなく答えるものとし、一度誤って伝えられたメッセージが伝言の過程で再び正しい内容になることはないものとする。ここで、$p$は $0<p<1$ を満たす実数である。

 この設定の下で以下の問いに答えよ。

(1)$3$人で伝言ゲームを行い、お題は$2$個とする。最後の人がメッセージを答えるとき、$1$個目のメッセージは正しく、$2$個目のメッセージは誤っている確率を$p$を用いて表せ。また、最後の人がメッセージを答えるとき、$2$個のお題のうち$1$個だけが正しい確率を$p$を用いて表せ。

(2)$6$人を$3$人一組のチームA、Bに分けて伝言ゲーム対戦を行う。お題は両チームともに$3$個とし、最後の人がより多くのお題を正しく答えられた方のチームを勝ちとする。正答数が同数の場合は引き分けとする。Aチームが勝つ確率を$p$を用いて表せ。

(3)$2n+2$ 人を $n+1$ 人一組のチームX、Yに分けて伝言ゲーム対戦を行う。お題は両チームともに$3$個とし、最後の人がより多くのお題を正しく答えられた方のチームを勝ちとする。正答数が同数の場合は引き分けとする。Aチームが勝つ確率を$p$、$n$を用いて表せ。


第4問

 実数$a$に対して、座標平面上で次の放物線$C$を考える。

$$C:y=(a+1) x^2+(a-2)x-\dfrac{a^2+1}{2a}$$

$a$が任意の実数全体を動くとき、$C$の通過しない領域の面積を求めよ。


第5問

 $\dfrac{2^p+1}{p}$ が整数となる素数$p$をすべて求めよ。


第6問

 $t$を任意の実数とするとき、座標平面上において曲線$$C:y=x^3+x^2 \cos⁡ 2t+x(\sin ⁡t+1)$$が通過する領域を$D$とする。

(1)$u$を実数の定数とする。$x=u$ と固定したとき、$y$の取りうる値の範囲を$u$を用いて表せ。

(2)$D$を図示せよ。


問題は以上である。

(2016/07/24公開 ©理系のための備忘録)


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