2017年冬の陣 問題

2017年冬の陣 問題


第1問

 曲線 $y=(x-1) e^{-\frac{1}{3} x}$の接線で点$(0,1)$を通るものは何本存在するか。


第2問

 $n$は$2$以上の正の整数とする。赤色、青色、白色、黒色の$4$色の玉がそれぞれ$n$個ずつあり、どの色の玉にも$1$から$n$までの異なる整数が書かれている。これらの$4n$個の玉をすべて袋に入れ、袋から無作為に$1$個ずつ球を取り出す試行を考える。このとき取り出した球は袋に戻さないものとする。この試行を繰り返し、取り出された玉の中に同番号のものが現れた時点で試行を終えるとき、以下の問いに答えよ。

(1)試行がちょうど$3$回目で終了する確率を求めよ。

(2)試行がちょうど$n$回目で終了する確率を求めよ。


第3問

 実数$a$が $|a|<2$ を満たすとき、平面上の曲線 $x^2+y^2-axy=1$ は楕円であることを示せ。


第4問

(1)$n$を正の整数、$i$を虚数単位とするとき、複素数$(1+2i)^n$と$(1-2i)^n$は互いに共役であることを示し、$625$を$2$つの平方数の和で表せ。ここで平方数とは、ある自然数の$2$乗となる数である。

(2)等式$$x^2+4y^2={2017}^2$$を満たすような正の整数の組$(x,y)$を求めよ。

(3)${2017}^4$を$2$つの平方数の和で表せ。


第5問

 互いに異なる$0$でない$3$つの複素数$z_1$、$z_2$、$z_3$は関係式$$\begin{cases} z_2 z_3=z_1^2 \\ z_1 z_2=z_3^2 \end{cases}$$を満たしている。

(1)$z_1+z_2+z_3$ の値を求めよ。

(2)複素数平面上における$3$つの複素数$z_1、z_2、z_3$の位置関係を述べよ。


第6問

 $xyz$空間において、中心が点$(0,1,0)$、半径が$1$であるような平面 $z=0$ 上の円弧を$\alpha$とする。$\alpha$上に点$A$、$z$軸上の正の部分に$OA=OB$ を満たす点$B$をとり、四角形$OACB$が正方形となるような点$C$をとる。点$A$が$\alpha$上を一周するとき、四角形$OACB$の周および内部が通過してできる立体を$K$とする。

 $0 \leqq t \leqq 1$ を満たす実数$t$に対し、平面 $x=t$ による立体$K$の切り口の面積を$S(t)$とおく。

(1) $t=\sin \theta \ \left(0 \leqq \theta \leqq \dfrac{\pi}{2}\right)$とおくとき、$S(t)$を$\theta$で表せ。

(2)立体$K$の体積を求めよ。


問題は以上である。

(2017/02/10公開 ©理系のための備忘録)


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