2017年夏の陣 問題


2017年夏の陣 問題


第1問

 $n$進法表記によると、不等式$$30<\sqrt{220}+\sqrt{240}<32$$が成立するという。これを満たす自然数$n$をすべて求めよ。


第2問

 関数列$f_n (x)$を次のように定める。$$f_{1} (x)=x^2+1、f_{n+1} (x)=f_{1} (x+f_{n} (x)) \  (n=1,2,3,\cdots)$$このとき、曲線 $y=f_k (x)$ はすべての正の整数$k$にわたって共通な接線を一つだけもつことを示せ。


第3問

 半径$r$の球面上の$4$地点$\mathrm{A}$、$\mathrm{B}$、$\mathrm{C}$、$\mathrm{D}$をリアルタイムで観測するため、球面からの高度が$r$の軌道に静止衛星を周回させる。$4$地点が球面上のどこにあっても各地点を常に観測できるようにするには、少なくとも何台の静止衛星が必要か。ただし各地点は球面上の定点である。ここで静止衛星とは、$4$地点に対する相対的な位置関係が常に一定である点とし、静止衛星$\mathrm{P}$から球面上の地点$\mathrm{Q}$が観測されるとは、線分$\mathrm{PQ}$と球面の共有点が点$\mathrm{Q}$以外に存在しないことをいうものとする。


第4問

 数列$\{a_n\}$を$$a_1=a_2=1、a_{n+2}=a_{n+1}+a_n \ (n=1,2,3,\cdots)$$で定める。

(1)正の整数$k$、$m$について等式 $a_{k+m}=a_{k} a_{m+1}+a_{k-1} a_{m}$ が成り立つことを示せ。

(2)$a_{2018}$と$a_{8102}$の最大公約数を求めよ。


第5問

 複素数$z$が単位円周上の虚部が正の部分を動くとき、複素数 $w=\dfrac{1+z}{1+z^2}$ の描く軌跡を図示せよ。


第6問

 $r(θ)=\dfrac{1}{\cos^3⁡ \dfrac{\theta}{3}}$ $(-\pi \leqq \theta \leqq \pi)$ で定義される曲線$C$について、以下の問いに答えよ。

(1)$t=\tan⁡ \dfrac{\theta}{3}$ とする。曲線$C$上の点$\mathrm{P}$の座標を$t$を用いて表し、曲線$C$の概形を描け。

(2)曲線$C$よって囲まれる図形の面積を求めよ。


問題は以上である。

(2017/08/17公開 ©理系のための備忘録)


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