2018年冬の陣 問題


2018年冬の陣 問題


第1問

(1)複素平面上において3点$z$、$z^2$、$z^4$が同一直線上に存在するとき、$z$の軌跡を図示せよ。

(2)複素平面上において3点$z$、$z^2$、$z^5$が同一直線上に存在するとき、$z$の軌跡を図示せよ。


第2問

 サイコロを$n$回投げて出た目を左から順に書き連ねて$n$桁の整数$A$を作るとき、以下の問に答えよ。

(1)$A$が$4$で割り切れる確率を求めよ。

(2)$A$が$7$で割り切れる確率を求めよ。

(3)$A$が$7$で割り切れるとき、$A$が$84$で割り切れる条件付き確率を求めよ。


第3問

 実数$r$は $r>1$ を満たすとする。

 座標平面上の曲線$\mathrm{C}_1$:$y^2=2x^{2}(1-x^{2})$ は、原点を中心とする半径$r$の円$\mathrm{C}_2$と第1象限の点$\mathrm{A}$で接している。第1象限内の点$\mathrm{P}$が曲線$\mathrm{C}_1$上を原点$\mathrm{O}$から点$\mathrm{A}$まで動くとき、線分$\mathrm{OP}$の通過する領域の面積を求めよ。


第4問

 $a$、$b$、$c$、$d$、$e$を正の整数とする。

 $\dfrac{a \sqrt[3]{4}+b \sqrt[3]{3}+c\sqrt[3]{2}+d}{b \sqrt[3]{4}+c\sqrt[3]{3}+d\sqrt[3]{2}+e}$ が有理数となるとき、$a^2+b^2+c^2+d^2+e^2$ は $a+b+c+d+e$ で割り切れることを示せ。


第5問

 $f(x)=\dfrac{1}{x^2}+\log x$($x>0$)とする。

(1)関数 $y=f(x)$ の増減及び凹凸を調べて概形を描け。

(2)関数 $y=f(x)$ と直線 $x=1$、$x=n$ および$x$軸によって囲まれた図形を$x$軸のまわりに一回転してできる立体の体積$V_n$を求め、極限値 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \dfrac{V_n}{n(\log n)^2}$ を求めよ。


第6問

 $\sqrt{x}+\sqrt{y}=1$ で定まる曲線を$\mathrm{C}$とする。

(1)曲線$\mathrm{C}$を原点を中心として反時計回りに$45^{\circ}$だけ回転すると、ある放物線$\mathrm{P}$に重なるという。この放物線$\mathrm{P}$の方程式と$\mathrm{P}$の準線の方程式を求めよ。

(2)曲線$\mathrm{C}$の準線を $l$ とし、曲線$\mathrm{C}$上の点$\mathrm{A}$における接線と準線$l$との交点を$\mathrm{B}$とする。線分$\mathrm{AB}$の長さの最小値と、そのときの点$\mathrm{A}$の座標を求めよ。


問題は以上である。

(2018/02/11公開 ©理系のための備忘録)


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