2018年夏の陣 問題

2018年夏の陣 問題


第1問

 $A={2019}^{2019}-1$ とするとき、$A^3+A^2+A+1$ と $A^2+2$ の最大公約数を求めよ。


第2問

 半径$2$の円に内接する四角形$\mathrm{ABCD}$は $\mathrm{AB}=\mathrm{AD}$、$\mathrm{BC}=2\sqrt{3}$ を満たす。四角形$\mathrm{ABCD}$の面積が最大となるとき、$\angle \mathrm{OAB}$ を求めよ。


第3問

 $0 \leqq x < \dfrac{\pi}{2}$ とし、$x$の関数$$F(x)=\dfrac{2 x \tan x-1}{6\cos^2 x}+\dfrac{2}{3}\left\{x \tan x + \log(\cos x)\right\}$$の導関数を$f(x)$とする。曲線 $y=f(x)$ 上の点$\mathrm{P}$を$(t,f(t))$、$x$軸上の点$\mathrm{Q}$を$(t,0)$とする。ただし、実数$t$は $0 \leqq t < \dfrac{\pi}{2}$ を満たすとする。

曲線 $y=f(x)$、$x$軸、線分$\mathrm{PQ}$で囲まれた図形の面積を$S_1$とする。また、原点を$\mathrm{O}$として、曲線 $y=f(x)$、線分$\mathrm{OP}$で囲まれた図形の面積を$S_2$とする。

このとき、以下の問いに答えよ。

(1)$f(x)$ を求めよ。

(2)$\displaystyle \lim_{t \to +0}\dfrac{S_2}{S_1}$ を求めよ。


第4問

 座標空間内の異なる$4$点$\mathrm{O}$、$\mathrm{A}$、$\mathrm{B}$、$\mathrm{C}$は以下の条件を満たすとする。

$\Big|{\overrightarrow{\mathrm{OA}}}\Big|=\Big|{\overrightarrow{\mathrm{OB}}}\Big|=\Big|{\overrightarrow{\mathrm{OC}}}\Big|=1$、$\begin{cases} \overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\dfrac{1}{2} \\ \overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OC}}=-\dfrac{1}{2} \end{cases}$

$\cos\angle \mathrm{BOC}$ を$x$と置くとき、以下の問いに答えよ。

(1)四面体$\mathrm{OABC}$の体積$V$を$x$の式で表し、その最大値を求めよ。

(2)$V$が最大となるとき、四面体$\mathrm{OABC}$の内接球の半径を求めよ。


第5問

 $a$を実数とし、$xy$平面上の領域$D$を$$D\ :\ |x|+|y|+|x-y| \leqq a$$と定めるとき、領域$D$に含まれる点 $(p,q)$ に対して $p^2+q$ の取り得る値の範囲を求めよ。


第6問

 $f(x)$、$g(x)$は全実数で定義されており、かつ微分可能である。$f^{\prime}(x)=g(x)$、$g^{\prime}(x)=f(x)$、$f(0)=1$、$g(0)=0$ が成り立っているとき、以下の問いに答えよ。

(1)$A(x)=f(x)+g(x)$、$B(x)=f(x)-g(x)$ と置くとき、これらの積 $A(x) \cdot B(x)$ が定数であることを示し、その値を求めよ。

(2)$h(x)=\dfrac{g(x)}{f(x)}$ と置くとき、$\{h(x)\}^{2}$ の最小値を求めよ。


問題は以上である。

(2018/08/20公開 ©理系のための備忘録)


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