2019年冬の陣 問題


2019年冬の陣 問題


第1問

 $1$辺の長さが$1$である正方形$\rm{ABCD}$の辺$\rm{AB}$上に点$\rm{P}$をとり、線分$\rm{CP}$の垂直二等分線と辺$\rm{BC}$および辺$\rm{AD}$との交点をそれぞれ$\rm{Q}$、$\rm{R}$とする。点$\rm{P}$が辺$\rm{AB}$上を動くとき、台形$\rm{APQR}$の面積の最大値を求めよ。


第2問

 次のようなルールのゲームを繰り返し行い、プレイヤー甲、乙が対戦する。

・両プレイヤーの初めの持ち点は$3$点である。
・一回のゲームで負けた方の持ち点は$1$点減点され、勝った方の持ち点は変わらない。
・どちらかの持ち点が$0$点になったとき対戦を終え、持ち点$0$の方を敗者とし、他方を勝者とする。
・甲が乙に勝利したときに限り、甲はその時点における持ち点のまま再び乙と対戦できる。再対戦するときの乙の持ち点は初めと同じ$3$点とし、これはプレイヤー甲の持ち点が$0$点になるまで繰り返されるとする。

一回のゲームで甲が乙に勝利する確率が$p$であるとき、以下の問いに答えよ。

(1)甲が乙に$2$連勝する確率を求めよ。

(2)甲が乙に$n$連勝する確率を求めよ。


第3問

 $k$、$n$は整数とする。

(1)多項式$g_k(x)$を、

$g_0(x)=1$、$g_k(x)=\dfrac{x(x-1)\cdots(x-k+1)}{k!}$($k \geqq 1$)

で定義するとき、実数を係数とする$n$次多項式$f(x)$について恒等式$$f(x)=\displaystyle \sum^{n}_{k=0}a_{k}g_{k}(x)$$が成り立つような実数列$\{a_k\}$が存在することを示せ。

(2)実数を係数とする$2019$次多項式$f(x)$について、

$f(0)=1$、$f(1)=3$、$f(2)=3^2$、$\cdots$、$f(2019)=3^{2019}$

が成り立つとき、$f(2020)$の値を求めよ。


第4問

 以下の条件を満たす四面体$\rm{ABCD}$がある。

 (条件)
辺$\rm{AB}$の中点と辺$\rm{CD}$の中点を結ぶ線分を$s_1$、辺$\rm{BC}$の中点と辺$\rm{DA}$の中点を結ぶ線分を$s_2$、辺$\rm{AC}$の中点と辺$\rm{BD}$の中点を結ぶ線分を$s_3$とするとき、$s_1$、$s_2$、$s_3$は$1$点で交わり、どの$2$つの線分も互いに直交する。

 このとき、線分$s_1$、$s_2$、$s_3$の長さがすべて等しいことは四面体$\rm{ABCD}$が正四面体であるための必要十分条件であることを示せ。


第5問

$\sin2<\sin1+\sin3<2\sin2$ を示せ。ただし$\sin$の中の値はラジアンを単位とする。


第6問

 座標平面上に$\mathrm{A}(1,\,0)$、$\mathrm{B}(-1,\,0)$、および、曲線 $y=-x^2+1$ 上の $y>0$ の部分を動く点$\mathrm{P}(t,-t^2+1)$がある。ここで$t$は $-1<t<1$ を満たす実数である。$\angle\mathrm{APB}$の二等分線と$x$軸との交点を$\mathrm{Q}$とするとき、以下の問いに答えよ。

(1)点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ。

(2)$\triangle\mathrm{APQ}=\triangle\mathrm{OPQ}$ を満たす$t$について不等式 $$\dfrac{2}{3}<t<\dfrac{1}{\sqrt[3]{2}}$$ が成立することを示せ。ただし$\mathrm{O}$は原点である。


問題は以上である。

(2019/01/27公開 ©理系のための備忘録)


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