2019年夏の陣 問題


2019年夏の陣 問題


第1問

 べクトル $\vec{v}=(1,1,1)$ が$xy$平面と成す鋭角を$\theta$とするとき、不等式$$30^{\circ}<\theta<40^{\circ}$$が成り立つことを示せ


第2問

 「$2019$」が$n$個連なってできる整数を$p_n$とし、$p_n$を下一桁から順に$3$桁ずつ区切ってできる数の和を$s^{(1)}_n$とする。さらに、$s^{(1)}_n$を下一桁から順に$3$桁ずつ区切ってできる数の和を$s^{(2)}_n$、$s^{(2)}_n$を下一桁から順に$3$桁ずつ区切ってできる数の和を$s^{(3)}_n$、以下同様に、$s^{(k)}_n$を下一桁から順に$3$桁ずつ区切ってできる数の和を$s^{(k+1)}_n$とする(ただし$k$は正の整数)。

 例えば、$p_3=201920192019$ に対して、

 $s^{(1)}_3=201+920+192+19=1332$

 $s^{(2)}_3=1+332=333$

 $s^{(k)}_3=333$($k \geqq 3$)

となる。

(1)任意の正の整数の組$(n,k)$に対して$s^{(k)}_n$が$3$の倍数となることを示せ。

(2)$s^{(2)}_{10}$の値を求めよ。

(3)$s^{(k)}_n=3$ となるような正の整数の組$(n,k)$は存在するか。


第3問

 表裏の出る確率が等しい硬貨を繰り返し投げて、以下のように各数列を定義する。$$a_k=\begin{cases} 1\ \ \ (k\text{回目に表が出たとき}) \\ 0\ \ \ (k\text{回目に裏が出たとき}) \end{cases}$$ $$A_n=\sum^{n}_{k=1}a_{k} 2^{k-1},\ B_n=\sum^{n}_{k=1}a_{n+1-k} 2^{k-1}$$また、$A_n=B_n$ となる確率を$q(n)$、$A_n \leqq B_{n+i}$ となる確率を$p(n,i)$とする。ただし整数$i$は $0 \leqq i \leqq n-1$ を満たすとする。 このとき次の問いに答えよ。

(1)$q(5)$、$q(6)$を求めよ。

(2)$q(n)$を$n$を用いて表し、$p(n,0)$を$q(n)$を用いて表せ。

(3)$p(n,i)$を$n$、$i$を用いて表せ。


第4問

 $\theta$を実数、$n$を正の整数とし、曲線$C_n$を次のように定める。$$C_{n}:\begin{cases} x=\cos \theta \\ y=\theta \sin \theta \end{cases}\ \ \ ((n-1)\pi \leqq \theta \leqq n\pi)$$曲線$C_n$と$x$軸で囲まれた図形の面積$S_{n}$を$n$を用いて表せ。


第5問

 複素平面上において、$1$、$z$、$\dfrac{z}{z+1}$ が正三角形を成すような複素数$z$をすべて求めよ。


第6問

 点$\mathrm{A}$を$(2,\,0)$とし、原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$4$の円周上に点$\mathrm{P}$をとる。線分$\mathrm{AP}$の垂直二等分線 $l$ と直線$\mathrm{OP}$の交点を$\mathrm{Q}$とする。点$\mathrm{P}$が円周上を動くとき、次の問いに答えよ。

(1)点$\mathrm{Q}$が描く軌跡を求めよ。

(2)垂直二等分線 $l$ が$x$軸に平行でないとし、$l$ と$x$軸の交点を$\mathrm{B}$、線分$\mathrm{AP}$の中点を$\mathrm{H}$とする。点$\mathrm{P}$が$x$軸に限りなく近付くとき、面積の比 $\triangle \mathrm{ABH}$:$\triangle \mathrm{PQH}$ および、線分の長さの比 $\mathrm{BH}$:$\mathrm{QH}$ の極限値を求めよ。


問題は以上である。

(2019/08/10公開 ©理系のための備忘録)


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