2020年冬の陣 問題


2020年冬の陣 問題

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第1問

 一辺の長さが$1$である正五角錐の体積を求めよ。


第2問

 $0 < \theta < 2\pi$ の範囲における方程式$$\sin 2 \theta + \cos 2 \theta=0.82$$の解のうち最も小さいものを$\phi$とするとき、$\tan 2\phi$ の値を求めよ。さらにすべての解を$\phi$を用いて表し、解の総和を求めよ。


第3問

 $a$、$b$は正の実数とする。関数 $f(x)=\dfrac{1}{a+e^{-bx}}$ について以下の問いに答えよ。

(1)関数 $y=f^\prime(x)$ の極値を与える点の座標$(p,q)$を求め、関数 $y=f^\prime(x)$ が直線 $x=p$ に関して対称であることを示せ。

(2)$t$を任意の実数とする。点$\mathrm{A}(t,f(t))$、$\mathrm{B}(t+1,f(t+1))$、$\mathrm{C}(t+1,0)$、$\mathrm{D}(t,0)$で定まる台形$\mathrm{ABCD}$の面積を$S_1$とし、$S_2=\displaystyle \int^{t+1}_{t}f(x)dx$ とするとき、$S_1=S_2$ を満たす$t$をすべて求めよ。


第4問

(1)$n$を正の整数とするとき、恒等式$$(\sqrt{2}-1)^n=\sqrt{2}a_{n}-b_{n}$$を満たす整数の組$(a_{n},b_{n})$を$n$を用いて表せ。

(2)直線 $y=\sqrt{2}x$ にいくらでも近い格子点が与えられることを示せ。ここで格子点とは、$x$座標と$y$座標の値がともに整数であるような座標平面上の点をいう。


第5問

 $a>1$ とする。曲線 $C_1:y=\log_ax$ と曲線 $C_2:y=\log_xa$ の$2$つの交点を$\text{A}$、$\text{B}$とする。曲線$C_1$と線分$\text{AB}$によって囲まれた部分の面積を$S(a)$とするとき、極限値 $\displaystyle \lim_{a \to \infty} \dfrac{S(a)}{a}$ を求めよ。


第6問

 $2020$個の玉があり、$1$から$2020$まで順に$1$つずつ数字を記入して箱に入れる。どの玉を取り出すかは同様に確からしいものとする。

(1)箱から無作為に$2$個の玉を取り出すとき、それらの番号の和が$5$で割り切れる確率を求めよ。

(2)箱から無作為に$2$個の玉を取り出すときそれらの番号の平方の和が$5$で割り切れる確率を求めよ。

(3)箱から無作為に$2$個の玉を取り出しその$2$個の玉を戻すことなく、さらに箱から$2$個の玉を無作為に取り出す。最初の$2$個の玉の番号の和が5で割り切れ、$2$回目の$2$個の玉の番号の平方の和が$5$割り切れる確率を求めよ。


問題は以上である。

(2020/02/03公開 ©理系のための備忘録)


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