2018年センター数ⅠＡ第４問

各予備校のセンター試験の平均点予想を眺めてみると、理系も文系もおよそ昨年並みのようですが、文系の方が少し難化したようです。得点調整も無さそうなので、良質な試験だったと言えますね。

今回は今年のセンター数ⅠＡの第４問で出題された整数問題を解説します！

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（１）$144$を素因数分解すると$$144=2^{{}^{\smash[b]{\fbox{ ア }}}} \times \smash[t]{\fbox{ イ }}^{{}^{{\smash[t]{\fbox{ ウ }}}}}$$であり、$144$の正の約数の個数は$\smash{\fbox{ エオ }}$個である。

（２）不定方程式$$144x-7y=1$$の整数解$x$、$y$の中で、$x$の絶対値が最小になるのは$$x=\smash{\fbox{ カ }}、y=\smash{\fbox{ キク }}$$であり、すべての整数解は、$k$を整数として$$x=\fbox{ ケ }k+\fbox{ カ }、y=\fbox{ コサシ }k+\fbox{ キク }$$と表せる。

（３）$144$の倍数で、$7$で割ったら余りが$1$となる自然数のうち、正の約数の個数が$18$個である最小のものは $144 \times \fbox{ ス }$ であり、正の約数の個数が$30$個である最小のものは $144 \times \fbox{ セソ }$ である。

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オーソドックスなタイプの整数問題ですが（３）は慣れていないとやや難しいかもしれません。因みに不定方程式は2016年に出題歴があります。

（１）

$$144=2^{\fbox{4}} \times \fbox{3}^{\fbox{2}}$$ですから、正の約数の個数は$$(4+1)(2+1)=\fbox{15}$$と求められます。

（２）

$140$が$7$の倍数なので $288-287$ の組、即ち、$$x=\fbox{2}、y=\fbox{41}$$の組は割と簡単に見つけられると思います。$144x-7y=1$ の両辺から $288-287=1$ を辺々差を取って、$$144(x-2)-7(y-41)=0$$ $$\therefore 144(x-2)=7(y-41)$$を得ます。これより、$x-2$ は$7$の倍数でなければならず、$y-41$ は$144$の倍数でなければならないので、すべての整数解は整数$k$を用いて$$\begin{cases} x=\fbox{7}k+2 \\ y=\fbox{144}k+41 \end{cases}$$と表せます。

（３）

約数の個数は素因数の種類が増えると一気に増えてしまうので$\fbox{ ス }$には$2$か$3$が入ると考えられます。もし$5$などが入ると約数の個数はいきなり $5 \cdot 3 \cdot 2=30$ 個になってしまいます。そこで試しに$2$を入れると$$144 \times 2=288=2^5 \cdot 3^2$$となるので約数の個数は $6 \cdot 3=18$ 個となり、また、$288$は$7$で割ったら余りが$1$となる自然数なので適します。したがって$$\fbox{ ス }=\fbox{2}$$です。

次に$\fbox{ セソ }$を考えますが、こちらは候補が多そうなので絞り込みを考えます。$144$は$7$で割ったときの余りが$4$ですから、$\fbox{ セソ }$に入る数を$x$とすると、$x$は少なくとも合同式$$4 \times x \equiv 1 \ \pmod{7}$$を満たす必要があります。したがってこれより$x$は$7$で割ったときの余りが$2$でなければならないことが分かりますから、$\fbox{ セソ }$には$7$で割ったときの余りが$2$であるような２桁の自然数しか当てはまりません。

またここで、$144$の正の約数の個数は既に$15$個存在し、 $30=2 \times 3 \times 5$ であることに注意すると、$x$は$2^5$か$3^3$か$2 \cdot 3^2$か、もしくは素数でなければならないことが分かります。$2^5=32$ も $3^3=27$ も $2 \cdot 3^2=18$ も$7$で割ったときの余りが$2$でないので、$x$には$7$で割ったときの余りが$2$であるような２桁の素数が当てはまることになります。このような数を小さい方から探していくと $x=23$ が見つかります。このとき確かに$144 \times 23 \ (=3312)$ は$7$で割ったら余りが$1$となる自然数であり、かつ正の約数の個数が$30$個となっていますので、$$\fbox{ セソ }=\fbox{23}$$です。

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今回の数ⅠＡの全体的な問題量を考えれば、良心的なレベルでしょう。確実に得点したいところですね。