復習例題1.3.4

曲線 $y=\cosh x$、曲線 $y=\sinh x$、$y$ 軸および直線 $x=1$ で囲まれた図形を$x$軸のまわりに１回転してできる立体の体積を求めよ。

 

《ポイント》

（１）で示した性質の出番です。

 

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《解答例》

回転体の体積を$V$、$y_1=\cosh x$、$y_2=\sinh x$として、

$\begin{array}{rl}V& ={\displaystyle {\int }_0^1\pi (y_1^2-y_2^2)dx}\\ & ={\displaystyle {\int }_0^1\pi ({\cosh }^{2}x-{\sinh }^{2}x)dx}\\ & ={\displaystyle \pi {\int }_0^{1}dx}\\ & =\pi \cdots \cdots (\text{答})\end{array}$

となる。

なお、$\sinh x={\displaystyle \frac{e^x-e^{-x}}{2}}$、$\cosh x={\displaystyle \frac{e^x+e^{-x}}{2}}$であるから常に$y_1=\cosh x>y_2=\sinh x$である。

 

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《コメント》

双曲線関数には他にも面白い性質が沢山あります。

 

 

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