復習例題1.1.2a
次の数列$\{ a_n \}$は有界で単調減少であることを示し、極限を求めよ。 （１）$a_1=a、a_{n+1}=\dfrac{{a_{n}}^2+2}{3}$ ただし$1<a<2$である。 《ポイント》 この漸化式では、まず $1<a_n<2$ が保たれることを示し、次に隣接2項の差の符号を調べます。収束を示してから極限の方程式を解く順序が大切です。《解答例》 $a_1=a、a_{n+1}=\dfrac{{a_{n}}^2+2}{3}$より、$a_{2}=\dfrac{a^2+2}{3}$である。$1<a<2$より、$$\dfrac{1^2+2}{3}=1<a_{2}=\dfrac{a^2+2}{3}<\dfrac{2^2+2}{3}=2$$となるから、漸化式から帰納的に$1<a_n<2$が言える。故に数列$\{a_n\}$は有界である。 また、$ a_{n+1}-a_n=\dfrac{{a_{n}}^2+2}{3}-a_n=\dfrac{(a_{n}-2)(a_n-1)}{3}$となるが、$1<a_n<2$より、$(a_{n}-2)(a_n-1)<0$であるから$a_{n+1}-a_n<0$、したがって数列$\{a_n\}$は単調減少である。 以上より、数列$\{a_n\}$は有界な単調減少数列であるから収束する。 数列$\{a_n\}$の極限値を$\alpha$として $\alpha=\dfrac{{\alpha}^2+2}{3}$ を解くと、$\alpha=2$あるいは$1$を得るが、数列$\{a_n\}$は初項が$1<a_1=a<2$を満たす単調減少数列であるから、極限値は
$$1 \ \ \cdots \cdots \text{(答)}$$
と求められる。補足：極限2を除く根拠と初期条件の役割
全項が2未満であることだけでは、極限2は除けません。例えば $2-1/n$ は2未満でも2に収束します。本問では単調減少なので、全ての $n$ で $a_n\le a_1=a<2$。従って極限 $L$ は $L\le a<2$ となり、候補2を除いて $L=1$ と決定できます。
作問者の視点から条件を読み解く
ここでは原著の非公開の出題意図を断定せず、数学的に条件が果たす役割を考えます。$1<a<2$ は、範囲が保たれることと $(a_n-1)(a_n-2)<0$ を同時に確保する条件です。$a=1$ と $a=2$ ではそれぞれ定数列になり、$a>2$ では増加して有限の固定点には収束しません。端点を含むかどうかで結論が変わります。
訂正：問題文の「単調増加」は、条件と解答に合わせて「単調減少」に訂正しました。