問題1.3.5
$a>1$のとき、次の（１）～（４）を示せ。
（１）
$n$が自然数のとき、$x^n=a$となる実数$x\ (>1)$がただ一つ存在することを示せ。
（２）
$x$が正の有理数であり、自然数$m、n$を用いて$x=\dfrac{m}{n}$と表せるとき、$a^x=(a^{\frac{1}{n}})^m$と定義する。この定義は自然数$m、n$の取り方に依らないことを示せ。また、$x、y$が有理数で$0<x<y$のとき、$a^x<a^y$であることを示せ。
（３）
$x\ (\geqq 0)$が実数であるとし、数列$\{x_n\}$を単調増加な有理数列で$\displaystyle \lim_{n \to \infty} x_n =x$となるものとするとき、数列$\{a^{x_n}\}$は収束すること、およびその極限値は数列$\{x_n\}$の取り方に依らないことを示せ。
（４）
このようにして全実数で定義された関数 $y=a^x$は連続関数であることを示せ。
《ポイント》
$a$が定数であることに注意しましょう。どの文字が変数でどの文字が定数なのかに気を付けながら証明してください。
《解答例》
（１）
$x \to \infty$のとき、$x^n \to \infty$であるから、十分大きな実数$c \ (>1)$について$c^n>a$が成り立つ。$x>1$だから$x^n<x^{n+1}$が帰納的に言えるので$x^n$は単調に増加する。
$x^n$の単調増加性、および中間値の定理より、区間$(1,\infty)$において$x^n-a=0$となる実数 $x=c$ がただ一つ存在する。
（２）
$x=\dfrac{m}{n}$（正の有理数）のとき$a^x$が一意に定まることを示す。
（１）で定義した実数$c$は$a^{\frac{m}{n}}=(a^{\frac{1}{n}} )^m=c^m$を満たすから、$$a^{\frac{km}{kn}}=(a^{\frac{1}{kn}})^{km}=(c^{\frac{1}{k}} )^{km}=\left\{ (c^{\frac{1}{k}} )^{k} \right\}^{m}$$となり、ここで$c^{\frac{1}{k}}=c’$と置くと（１）の結果より$(c’)^k=c$であるから、$$\left\{ (c^{\frac{1}{k}} )^{k} \right\}^{m}={(c’)^k }^m=c^m=a^{\frac{m}{n}}$$となる。これはすべての自然数$m、n$について言える。つまり、すべての正の有理数について言える。よって示された。
また、$y=x+\delta \ (\delta>0)$と置くと、
$$a^y=a^{x+\delta}=a^x \cdot a^\delta>a^x \cdot 1=a^x \ \ (\because a>1)$$
が成り立つから、$a^y>a^x$が示された。
（３）
$a^{x_n}=b_n$とすると、$x_{n+1}>x_n$と（２）の結果より$b_{n+1}>b_n$が成立し、$0<a^{x_n}<a^x$だから数列$\{b_n\}$は有界である。有界な単調増加数列は収束するから${a^{x_n}}$は収束し、極限値は$a^x$である。この議論は$x_n$の定め方に依っていないから、題意は示された。
（４）
$p$を任意の実数とする。定義「$a^{-p}=\dfrac{1}{a^p}$」に注意すると、
$$|a^x-a^p |=a^p \left| \dfrac{a^x}{a^p} -\dfrac{a^p}{a^p} \right| =a^p |a^{x-p}-a^{p-p} |
=a^p |a^{x-p}-1|$$であるから、$$\displaystyle \lim_{x \to p} |a^x-a^p |=a^p \displaystyle \lim_{x \to p} |a^{x-p}-1|=a^p |a^0-1|=0$$
となる。よって関数 $y=a^x$は連続関数である。
《コメント》
何を議論しているのか分かりにくい問題です。$a$は常に定数ですが、（１）では$x$は変数、（２）と（３）では定数になっています。証明問題では自分が今、何を示そうとしているのかを文章化してみるのも良い訓練になります。
$0<a<1$の場合は大小関係が逆転するだけで、同様の議論が可能です。
復習例題は設定していません。