問題3.1.4
$f(x)$が連続であるとき、次の等式を示せ。
（１）$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} f( \sin x) dx= \int_0^{\frac{\pi}{2}} f( \cos x) dx$
（２）$\displaystyle \int_0^{\pi} f( \sin x) dx=2 \int_0^{\frac{\pi}{2}} f( \sin x) dx$
《ポイント》
三角関数の合成関数の積分では積分範囲について操作すれば、補角の関係から$\sin $と$\cos $を行き来できます。
《解答例》
（１）
まず$$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} f( \sin x) dx=\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} f( \cos (\dfrac{\pi}{2}-x ) ) dx$$である。
$\dfrac{\pi}{2}-x=t$ と置くと、$-dx=dt$、
$x:0 \to \dfrac{\pi}{2}$、$t:\dfrac{\pi}{2} \to 0$ であるから、
$\begin{align}& \ \ \ \ \ \displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} f( \cos (\dfrac{\pi}{2}-x) ) dx \\
&=\displaystyle \int_{\frac{\pi}{2}}^0 f( \cos t ) (-1)dt \\
&=\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} f( \cos x ) dx \end{align}$
よって示された。
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（２）
左辺について$$\begin{align}& \ \ \ \ \ \displaystyle \int_0^{\pi} f( \sin x) dx=\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} f( \sin x) dx+\displaystyle \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} f( \sin x) dx \end{align}$$である。
$\pi-x=t$と置くと、$-dx=dt$、
$x:\dfrac{\pi}{2} \to \pi$、$t:\dfrac{\pi}{2} \to 0$であるから、
$\begin{align}& \ \ \ \ \ \displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} f( \sin x ) dx+\displaystyle \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} f( \sin x ) dx \\
&=\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} f( \sin x) dx+\displaystyle \int_{\frac{\pi}{2}}^0 f( \sin t ) (-1)dt \\
&=\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} f( \sin x) dx+\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} f( \sin t ) dt \\
&=2\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} f( \sin x ) dx \end{align}$
よって示された。
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復習例題未設定