問題5.5.2
ベータ関数、ガンマ関数を用いて、次の積分の値を計算せよ。
（１）$\displaystyle \int^{1}_0 \dfrac{x}{\sqrt{1-x^4}}dx$
（２）$\displaystyle \int^{2}_0 \dfrac{x}{\sqrt{2-x}}dx$
（３）$\displaystyle \int^{1}_0 \dfrac{x^5}{\sqrt{1-x^4}}dx$
（４）$\displaystyle \int^{\infty}_0 e^{-x^2}x^7dx$
（５）$\displaystyle \int^{1}_{-1} (1-x^2)^5dx$
（６）$\displaystyle \int^{\infty}_0 e^{-\sqrt{x}}x^3dx$
《ポイント》
ベータ関数とガンマ関数の性質が利用できるように適切な置換を考えましょう。
《解答例》
（１）$\displaystyle \int^{1}_0 \dfrac{x}{\sqrt{1-x^4}}dx$
$t=x^4$ と置くと $dt=4x^3 dx$ より、$$\begin{align} \displaystyle \int^{1}_0 \dfrac{x}{\sqrt{1-x^4}}dx &=\dfrac{1}{2} \int^{1}_0 t^{-\frac{1}{2}}(1-t)^{-\frac{1}{2}}dt \\ &=\dfrac{1}{4}B\left(\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2}\right) \\ &=\dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{\varGamma\left(\dfrac{1}{2}\right)\varGamma\left(\dfrac{1}{2}\right)}{\varGamma\left(1\right)} \\ &=\dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{\sqrt{\pi}\sqrt{\pi}}{1} \\ &=\dfrac{\pi}{4} \ \ \cdots \cdots \text{(答)} \end{align}$$となる。
（２）$\displaystyle \int^{2}_0 \dfrac{x}{\sqrt{2-x}}dx$
$t=\dfrac{1}{2}x$ と置くと $t:0\to 1$、$dx=2dt$ より、$$\begin{align}\displaystyle \int^{2}_0 \dfrac{x}{\sqrt{2-x}}dx &=2\sqrt{2} \int^{1}_0 \dfrac{t}{\sqrt{1-t}}dt \\ &=2\sqrt{2} \int^{1}_0 t(1-t)^{-\frac{1}{2}}dt \\ &=2\sqrt{2} B\left(2,\dfrac{1}{2}\right) \\ &=2\sqrt{2} \cdot \dfrac{\varGamma\left(2\right)\varGamma\left(\dfrac{1}{2}\right)}{\varGamma\left(\dfrac{5}{2}\right)} \\ &=2\sqrt{2} \cdot \dfrac{1!\cdot \sqrt{\pi}}{\dfrac{3!!}{2^2}\sqrt{\pi}} \\ &=\dfrac{8\sqrt{2}}{3} \ \ \cdots \cdots \text{(答)} \end{align}$$となる。
（３）$\displaystyle \int^{1}_0 \dfrac{x^5}{\sqrt{1-x^4}}dx$
$t=x^4$ と置くと $dt=4x^3 dx$ より、$$\begin{align}\displaystyle \int^{1}_0 \dfrac{x^5}{\sqrt{1-x^4}}dx &=\displaystyle \dfrac{1}{4}\int^{1}_0 \dfrac{\sqrt{t}}{\sqrt{1-t}}dt \\ &=\dfrac{1}{4} \int^{1}_0 t^{\frac{1}{2}}(1-t)^{-\frac{1}{2}}dt \\ &=\dfrac{1}{4}B\left(\dfrac{3}{2},\dfrac{1}{2}\right) \\ &=\dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{\varGamma\left(\dfrac{3}{2}\right)\varGamma\left(\dfrac{1}{2}\right)}{\varGamma\left(2\right)} \\ &=\dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{\dfrac{1}{2}\sqrt{\pi}\sqrt{\pi}}{1} \\ &=\dfrac{\pi}{8} \ \ \cdots \cdots \text{(答)} \end{align}$$となる。
（４）$\displaystyle \int^{\infty}_0 e^{-x^2}x^7dx$
$t=x^2$ と置くと $dt=2xdx$ より、$$\begin{align}\displaystyle \int^{\infty}_0 e^{-x^2}x^7dx &=\displaystyle \dfrac{1}{2}\int^{1}_0 e^{-t}t^3 dt \\ &=\dfrac{1}{2} \varGamma\left(4\right) \\ &=\dfrac{3 \cdot 2}{2} \\ &=3 \ \ \cdots \cdots \text{(答)} \end{align}$$となる。
（５）$\displaystyle \int^{1}_{-1} (1-x^2)^5dx$
$t=x^2$ と置くと $dt=2xdx$ より、$$\begin{align}\displaystyle \int^{1}_{-1} (1-x^2)^5dx &=2\int^{1}_{0} (1-x^2)^5 \cdot \dfrac{1}{2x}\cdot 2xdx \\ &=\int^{1}_{0} (1-t)^5\dfrac{1}{\sqrt{t}}dt \\ &=B\left(6,\dfrac{1}{2}\right) \\ &=\dfrac{\varGamma\left(\dfrac{1}{2}\right)\varGamma\left(6\right)}{\varGamma\left(\dfrac{13}{2}\right)} \\ &=\dfrac{\sqrt{\pi} \cdot 5!}{\dfrac{11!!}{2^6}\sqrt{\pi}} \\ &=\dfrac{512}{693} \ \ \cdots \cdots \text{(答)} \end{align}$$となる。
（６）$\displaystyle \int^{\infty}_0 e^{-\sqrt{x}}x^3dx$
$t=\sqrt{x}$ と置くと $2tdt=dx$ より、$$\begin{align}\displaystyle \int^{\infty}_0 e^{-\sqrt{x}}x^3dx &=\int^{1}_{0} e^{-t}t^6 \cdot 2tdt \\ &=2\int^{1}_{0} e^{-t}t^7\ dt \\ &=2 \cdot \varGamma\left(8\right) \\ &=2 \cdot 7! \\ &=10080 \ \ \cdots \cdots \text{(答)} \end{align}$$となる。
復習例題は設定していません。