微積復習例題1.2.5

復習例題1.2.5

$\sin (\cos x)$は区間$(0,\pi)$に解を持つことを示せ。

 

《ポイント》

中間値の定理を利用するだけです。

 


 

《解答例》

$\sin x$、$\cos x$は連続関数であるから合成関数$\sin (\cos x)$も連続である。

$f(x)=\sin (\cos x)$と置くと、$f(0)=\sin 1>0$、$f(\pi)=\sin (-1)<0$となる。故に中間値の定理より$f(x)=0$は区間$(0,\pi)$において少なくとも1つの解を持つ。

 

 


 

《コメント》

微分すると分かりますが、$f(x)=\sin (\cos x)$は区間$(0,\pi)$では単調減少なので、$(0,\pi)$においてただ一つの解を持ちます。実は$x=\dfrac{\pi}{2}$がそのただ一つの解なので、このことを言えば中間値の定理を持ち出すまでもありません。

 


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