復習例題1.3.1
次の値を求めよ。
（１）$\cos \left( \cos^{-1} \dfrac{\sqrt 3}{2} \right)$
（２）$\cos^{-1} \dfrac{\sqrt 3}{2} +\cos^{-1} \dfrac{1}{2}$
（３）$\sin^{-1} \dfrac{1}{2} +\sin^{-1} \left( -\dfrac{1}{2} \right)$
《ポイント》
やることは角度に置き直すことだけです。慣れてくれば暗算でできるようになります。
《解答例》
（１）
$\cos^{-1} \dfrac{\sqrt 3}{2}=\theta$と置くと、$\theta$は$\cos \theta =\dfrac{\sqrt 3}{2}$を満たす角であるから、$\cos \left( \cos^{-1} \dfrac{\sqrt 3}{2} \right)$
$$\cos \left( \cos^{-1} \dfrac{\sqrt 3}{2} \right) = \dfrac{\sqrt 3}{2} \ \ \cdots \cdots (\text{答})$$
を得る。
（２）
$\cos^{-1} \dfrac{\sqrt 3}{2}=\theta$と置き、$\cos \theta =\dfrac{\sqrt 3}{2}$を満たす$\theta$を$0 \leqq \theta \leqq \pi$の範囲で求めると、
$$\theta =\dfrac{1}{6}\pi$$
を得る。次に$\cos^{-1} \dfrac{1}{2}=\phi$と置き、$\cos \phi =\dfrac{1}{2}$を満たす$\phi $を$0 \leqq \phi \leqq \pi$の範囲で求めると、
$$\phi =\dfrac{1}{3}\pi$$
を得る。したがって、
$$\cos^{-1} \dfrac{\sqrt 3}{2} +\cos^{-1} \dfrac{1}{2} =\dfrac{1}{6}\pi + \dfrac{1}{3}\pi = \dfrac{\pi}{2} \ \ \cdots \cdots (\text{答})$$
である。
（３）
$\sin^{-1} x$が奇関数であることに注意すると、
$$\begin{align} \sin^{-1} \dfrac{1}{2} +\sin^{-1} \left( -\dfrac{1}{2} \right) &=\sin^{-1} \dfrac{1}{2} -\sin^{-1} \dfrac{1}{2} \\ &=0 \ \ \cdots \cdots (\text{答}) \end{align}$$
《コメント》
（３）では$\sin^{-1} x$が奇関数であることを利用していますが、実際に角度を文字で置いて処理しても構いません。$\sin^{-1} x$が奇関数であることは$\sin x$が奇関数であることから示せます。これを知っていれば$$\sin^{-1} x +\sin^{-1} \left( -x \right)=0$$ や $$\tan^{-1} x +\tan^{-1} \left( -x \right)=0$$ がすぐに分かります。
では$\cos^{-1}$は？と思うのは自然な流れでしょう。$\cos^{-1} x$は$x=\dfrac{\pi}{2}$に関して対称なので、$$\cos^{-1} \left( \dfrac{\pi}{2}+\alpha \right)+\cos^{-1} \left( \dfrac{\pi}{2}-\alpha \right)=0$$となります。つまり$\cos^{-1} A+\cos^{-1} B$について$A+B$が$\pi$となる形なら$0$になります。
もちろん、これらの事実は公式として覚える必要はありません。
（２）についても、ただの直角三角形じゃん！というのが分かれば計算するまでもないのですが･･･。