復習例題1.3.2
次の方程式を解け。
（１）$\cos^{-1} x = \cos^{-1} \dfrac{\sqrt 3}{2} +2\sin^{-1} \dfrac{\sqrt 3}{2}$
（２）$\sin^{-1} \dfrac{1}{2}x= 2\cos^{-1} \dfrac{\sqrt 2}{2}$
（３）$\tan^{-1} x = \tan^{-1} 2 + \sin^{-1} \left( -\dfrac{1}{2} \right)$
《ポイント》
（１）と（２）は問題無いと思います。（３）ではtangentの加法定理が必要です。覚えていなければsineとcosineの加法定理から導きましょう。
《解答例》（文字には置かず略記します）
（１）
$\begin{align} \cos^{-1} x &= \cos^{-1} \dfrac{\sqrt 3}{2} +2\sin^{-1} \dfrac{\sqrt 3}{2} \\ &= \dfrac{\pi}{6}+2 \cdot \dfrac{\pi}{3} \\ &= \dfrac{5}{6}\pi \end{align} $
$\therefore x=\cos \dfrac{5}{6}\pi = -\dfrac{\sqrt 3}{2} \ \ \cdots \cdots (\text{答})$
（２）
$\begin{align} \sin^{-1} \dfrac{1}{2}x &= 2\cos^{-1} \dfrac{\sqrt 2}{2} \\ &= 2 \cdot \dfrac{\pi}{4} \\ &= \dfrac{\pi}{2} \end{align} $
$\therefore \dfrac{1}{2}x =\sin \dfrac{\pi}{2} = 1 \ \ \ \ \therefore x =2 \ \ \cdots \cdots (\text{答})$
（３）
$\begin{align} \tan^{-1} x &= \tan^{-1} 2 + \sin^{-1} \left( -\dfrac{1}{2} \right) \\ &= \alpha \ – \dfrac{\pi}{6} \end{align}$
（ただし$\tan^{-1} 2=\alpha$と置いた）
$\begin{align} \therefore x &= \tan \left( \alpha \ – \dfrac{\pi}{6} \right) = \dfrac{\tan \alpha -\tan \dfrac{\pi}{6}}{1+\tan \alpha \tan \dfrac{\pi}{6}} \\ &=\dfrac{2 -\dfrac{1}{\sqrt{3}}}{1+\dfrac{2}{\sqrt{3}}} =\dfrac{2\sqrt{3} -1}{\sqrt{3}+2} \\ &=\dfrac{(2\sqrt{3} -1)(\sqrt{3}-2)}{(\sqrt{3}+2)(\sqrt{3}-2)} =\dfrac{5\sqrt{3} -8}{4-3} \\ &=5\sqrt{3} -8 \ \ \cdots \cdots (\text{答}) \end{align}$
《コメント》
（３）tangentの加法定理を利用していますが、これはsineとcosineの加法定理から導くことができます。例えば$\tan (\alpha \ + \beta)$の場合は
$\begin{align} \tan (\alpha + \beta) &=\dfrac{\sin (\alpha + \beta)}{\cos (\alpha + \beta)} \\ &= \dfrac{\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta}{\cos \alpha \cos \beta \ – \ \sin \alpha \sin \beta } \\ &=\dfrac{\tan \alpha + \tan \beta}{1\ – \ \tan \alpha \tan \beta} \end{align}$
となります。最後の行では分子と分母を$\cos \alpha \cos \beta$で割っています。マイナスの場合も同様なので結局tangentの加法定理は$$\tan (\alpha \pm \beta)=\dfrac{\tan\alpha \pm \tan\beta}{1 \mp \tan\alpha\tan\beta}$$とまとめることができます。