問題2.3.1a
次の関数の$n$次（$n \geqq 1$）の導関数を求めよ。
（１）$y=\dfrac{1}{1+x}$
（２）$y=\log (1-x)$
（３）$y=(1+x)^a$
《ポイント》
$n$次導関数を求めるときは、計算ミス軽減のためにも整式の分数を指数表示にすることを鉄則にしましょう。
推測して帰納法を適用することも有効ですが、積の関数において$n$回微分すると$0$になる項や$e^x$が出てくるときはライプニッツの公式が便利です。
《解答例》
（１）
$f(x)=\dfrac{1}{1+x}=(1+x)^{-1}$ より、
$f^{(1)} (x)=-(1+x)^{-2}$ 、$f^{(2)} (x)=2(1+x)^{-3}$ 、$\cdots$、となるから
$$f^{(n)} (x)=(-1)^n\cdot n!\cdot (1+x)^{-(n+1)}$$
と予想できる。これを数学的帰納法により示す。
$f^{(1)} (x)=-(1+x)^{-2}$ より $n=1$のとき成立している。
$f^{(n)} (x)=(-1)^n\cdot n!\cdot (1+x)^{-(n+1)}$の成立を仮定すると、
$\begin{align}& \ \ \ \ \ f^{(n+1)} (x)=\dfrac{d}{dx} {f^{(n)} (x)} \\
&=(-1)^n\cdot n!\cdot \dfrac{d}{dx} {(1+x)^{-(n+1)} } \\
&=(-1)^n\cdot n!\cdot {-(n+1)} (1+x)^(-(n+1)-1) \\
&=(-1)^{n+1}\cdot (n+1)!\cdot (1+x)^{-(n+2)} \end{align}$
となり$n+1$のときも成立している。以上より数学的帰納法から
$$f^{(n)} (x)=(-1)^n\cdot n!\cdot (1+x)^{-(n+1)} \ \ \cdots \cdots \text{(答)}$$
であることが示された。
（２）
$f(x)=\log(1-x)$より、$f^{(1)} (x)=-(1-x)^{-1}$ 、$f^{(2)} (x)=-(1-x)^{-2}$ 、$f^{(3)} (x)=-2(1-x)^{-3}$ 、$f^{(4)} (x)=-6(1-x)^{-4}$、$\cdots$、となるから
$$f^{(n)} (x)=-(n-1)!\cdot (1-x)^{-n}$$
と予想できる。これを数学的帰納法により示す。
$f^{(1)} (x)=-(1-x)^{-1}$ より $n=1$のとき成立している。
$f^{(n)} (x)=-(n-1)!\cdot (1-x)^{-n}$の成立を仮定すると、
$\begin{align}& \ \ \ \ \ f^{(n+1)} (x)=\dfrac{d}{dx} {f^{(n)} (x)}=-(n-1)!\cdot \dfrac{d}{dx} {(1-x)^{-n} } \\
&=-(n-1)!\cdot n(1-x)^{-n-1} \\
&=-n!\cdot (1-x)^{-(n+1)} \end{align}$
となり$n+1$のときも成立している。以上より数学的帰納法から
$$f^{(n)} (x)=-(n-1)!\cdot (1-x)^{-n} \ \ \cdots \cdots \text{(答)}$$
であることが示された。
（３）
$f(x)=(1+x)^a$ より、$f^{(1)} (x)=a(1+x)^{a-1}$ 、$f^{(2)} (x)=a(a-1) (1+x)^{a-2}$、$\cdots$、となるから
$$f^{(n)} (x)=a(a-1)\cdots(a+1-n) (1+x)^{a-n}$$
と予想できる。これを数学的帰納法により示す。
$f^{(1)} (x)=a(1+x)^{a-1}$ より $n=1$のとき成立している。
$f^{(n)} (x)=a(a-1)\cdots(a+1-n) (1+x)^{a-n}$の成立を仮定すると、
$\begin{align}& \ \ \ \ \ f^{(n+1)} (x)=\dfrac{d}{dx} {f^{(n)} (x)} \\
&=a(a-1)\cdots(a+1-n)\cdot \dfrac{d}{dx} {(1+x)^{a-n} } \\
&=a(a-1)\cdots(a+1-n)\cdot (a-n) (1+x)^{a-n-1} \\
&=a(a-1)\cdots(a+1-n)(a-n)\cdot (1+x)^{a-(n+1)} \end{align}$
となり$n+1$のときも成立している。以上より数学的帰納法から
$$\begin{align}& f^{(n)} (x) \\ &=a(a-1)\cdots(a+1-n) (1+x)^{a-n} \ \ \cdots \cdots \text{(答)} \end{align}$$
であることが示された。
復習例題未設定