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問題2.3.1c

次の関数の$n$次（$n\geqq 1$）の導関数を求めよ。

（７）$y={\displaystyle \frac{1}{x^2-x-2}}$

（８）$y={\displaystyle \frac{e^x}{1-x}}$

 

《ポイント》

（７）は部分分数分解をします。（８）は ${\displaystyle \frac{1}{1-x}}=(1-x{)}^{-1}$と見なしてライプニッツの定理を利用します。

 

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《解答例》

（７）

$\begin{array}{rl}& {\displaystyle \frac{1}{x^2-x-2}}\\ & ={\displaystyle \frac{1}{(x-2)(x+1)}}\\ & ={\displaystyle \frac{1}{3}}({\displaystyle \frac{1}{x-2}}-{\displaystyle \frac{1}{x+1}})\\ & ={\displaystyle \frac{1}{3}}(x-2{)}^{-1}-{\displaystyle \frac{1}{3}}(x+1{)}^{-1}\end{array}$

$f(x)=(x-2{)}^{-1}$、$g(x)=(x+1{)}^{-1}$とおくと、

$f^{(1)}(x)=-(x-2{)}^{-2}$、$f^{(2)}(x)=2(x-2{)}^{-3}$ 、$\cdots$、

$g^{(1)}(x)=-(x+1{)}^{-2}$ 、$g^{(2)}(x)=2(x+1{)}^{-3}$ 、$\cdots$、

となるから、

$(\ast )：\{\begin{array}{l}{f}^{(n)}(x)=(-1{)}^n\cdot n!\cdot (x-2{)}^{-(n+1)}\\ g^{(n)}(x)=(-1{)}^n\cdot n!\cdot (x+1{)}^{-(n+1)}\end{array}$

と予想できる。これを数学的帰納法により示す。

$n=1$のとき、上記の通り成立している。$n$のとき$(\ast )$の成立を仮定すると、

$\begin{array}{rl}& f^{(n+1)}(x)\\ & ={\displaystyle \frac{d}{dx}}{f}^{(n)}(x)\\ & =(-1{)}^n\cdot n!\cdot {\displaystyle \frac{d}{dx}}(x-2{)}^{-(n+1)}\\ & =(-1{)}^n\cdot n!\cdot -(n+1)(x-2{)}^{-(n+1)-1}\\ & =(-1{)}^{n+1}\cdot (n+1)!\cdot (x-2{)}^{-(n+2)}\end{array}$

また、

$\begin{array}{rl}& g^{(n+1)}(x)={\displaystyle \frac{d}{dx}}{g}^{(n)}(x)\\ & =(-1{)}^n\cdot n!\cdot {\displaystyle \frac{d}{dx}}(x+1{)}^{-(n+1)}\\ & =(-1{)}^n\cdot n!\cdot -(n+1)(x+1{)}^{-(n+1)-1}\\ & =(-1{)}^{n+1}\cdot (n+1)!\cdot (x+1{)}^{-(n+2)}\end{array}$

となり$n+1$のときも成立している。以上より、数学的帰納法により$(\ast )$が示された。故に $y={\displaystyle \frac{1}{x^2-x-2}}$ の$n$次導関数は

$\begin{array}{rl}& {\displaystyle \frac{1}{3}}{f}^{(n)}(x)-{\displaystyle \frac{1}{3}}{g}^{(n)}(x)\\ & ={\displaystyle \frac{(-1{)}^n\cdot n!}{3}}\{(x-2{)}^{-(n+1)}-(x+1{)}^{-(n+1)}\}\cdots \cdots \text{(答)}\end{array}$

となる。

 

（８）

$f(x)=(1-x{)}^{-1}$、$g(x)=e^x$とおくと、$f^{(1)}(x)=(1-x{)}^{-2}$ 、$f^{(2)}(x)=2(1-x{)}^{-3}$ 、$\cdots$、となるから $f^{(n)}(x)=n!\cdot (1-x{)}^{-(n+1)}$ と予想できる。これを数学的帰納法により示す。

$n=1$のとき、上記の通り成立している。$n$のとき成立を仮定すると、

$\begin{array}{rl}& f^{(n+1)}(x)\\ & ={\displaystyle \frac{d}{dx}}{f}^{(n)}(x)\\ & =n!\cdot {\displaystyle \frac{d}{dx}}(1-x{)}^{-(n+1)}\\ & =n!\cdot (-1)\cdot -(n+1)(x-1{)}^{-(n+1)-1}\\ & =(n+1)!\cdot (x-1{)}^{-(n+2)}\end{array}$

となり$n+1$のときも成立している。以上より、数学的帰納法により示された。

また、$g^{(n)}(x)=e^x$であるから、$(1-x{)}^{-1}{e}^x$の$n$次導関数はライプニッツの定理より、

$\begin{array}{rl}& {\displaystyle \frac{d^n}{d{x}^n}}\{(1-x{)}^{-1}{e}^x\}\\ & ={\displaystyle \sum _{k=0}^n{}_n{\mathrm{C}}_k\cdot f^{(n-k)}(x)\cdot g^{(k)}(x)}\\ & =\sum _{k=0}^n[{\displaystyle \frac{n!}{k!\cdot (n-k)!}}\{(n-k)!\cdot (x-1{)}^{-(n-k+1)}\}\cdot e^x]\\ & =\sum _{k=0}^n[{\displaystyle \frac{n!}{k!}}\cdot (x-1{)}^{-(n-k+1)}\cdot e^x]\\ & =n!\cdot e^x\cdot \sum _{k=0}^n\{{\displaystyle \frac{1}{k!}}\cdot (x-1{)}^{-(n+1)}\cdot (x-1{)}^k\}\\ & =n!e^x(x-1{)}^{-(n+1)}\sum _{k=0}^n{\displaystyle \frac{(x-1{)}^k}{k!}}\cdots \cdots \text{(答)}\end{array}$

となる。

 

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復習例題未設定

 

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