問題2.4.3
次の関数の漸近展開を$o(x^3)$を用いて書き表せ。
（１）$(1+x^2 ) \cos x$
（２）$(2-x) \sqrt{1+x}$
（３）$e^{2x} \sin x$
（４）$\tan^{-1}x$
《ポイント》
ランダウの記号を用いて$$f(x)=\sum_{k=0}^{n} \dfrac{f^{(k)}(0)}{k!} x^k+o(x^n) \ \ (x \to 0)$$と表すことを「漸近展開」と呼びます。本問では$x^3$の項まで求めます。
漸近展開の簡単な計算方法については当サイトの記事「ランダウの記号と漸近展開の2通りの求め方（漸近展開の合成）」を参照してください。
《解答例》
（１）
$f(x)=(1+x^2 ) \cos x$とおくと、
$f^{(1)} (x)=2x \cos x-(x^2+1) \sin x$
$f^{(2)} (x)=-4x \sin x-(x^2-1) \cos x$
$f^{(3)} (x)=-6x \cos x+(x^2-5) \sin x$
であるから、
$\begin{align} f(x) &=f(0)+f^{(1)} (0)x+\dfrac{f^{(2)} (0)}{2!} x^2+\dfrac{f^{(3)} (0)}{3!} x^3+o(x^3) \\
&=1+0 \cdot x+\dfrac{1}{2!} x^2+\dfrac{0}{3!} x^3+o(x^3 ) \\
&=1+\dfrac{1}{2} x^2+o(x^3 ) \cdots \cdots \text{(答)} \end{align}$
【別解】
$\begin{align} (1+x^2 ) \cos x &=(1+x^2 ) \left(1-\dfrac{1}{2} x^2+o(x^3 ) \right) \\ &=1+\dfrac{1}{2} x^2+o(x^3 ) \cdots \cdots \text{(答)}\end{align}$
（２）
$f(x)=(2-x) \sqrt{1+x}=(2-x) (1+x)^{\frac{1}{2}}$とおくと、
$f^{(1)} (x)=-(1+x)^{\frac{1}{2}}+\dfrac{1}{2} (2-x) (1+x)^{-\frac{1}{2}}$
$f^{(2)} (x)=-(1+x)^{-\frac{1}{2}}-\dfrac{1}{4} (2-x) (1+x)^{-\frac{3}{2}}$
$f^{(3)} (x)=\dfrac{3}{4} (1+x)^{-\frac{3}{2}}+\dfrac{3}{8} (2-x) (1+x)^{-\frac{5}{2}}$
であるから、
$\begin{align} f(x) &=f(0)+f^{(1)} (0)x+\dfrac{f^{(2)} (0)}{2!} x^2+\dfrac{f^{(3)} (0)}{3!} x^3+o(x^3) \\
&=2+0 \cdot x+\dfrac{\left(-\dfrac{3}{2}\right)}{2!} x^2+\dfrac{\left(\dfrac{3}{2}\right)}{3!} x^3+o(x^3 ) \\
&=2-\dfrac{3}{4} x^2+\dfrac{1}{4} x^3+o(x^3 ) \cdots \cdots \text{(答)}\end{align}$
【別解】
$$\begin{align} (1+x)^{\frac{1}{2}} & \stackrel{\left( \frac{d}{dx} \right)}{\to} \dfrac{1}{2} (1+x)^{-\frac{1}{2}} \\ &\stackrel{\left( \frac{d}{dx} \right)}{\to} -\dfrac{1}{4} (1+x)^{-\frac{3}{2}} \\ &\stackrel{\left( \frac{d}{dx} \right)}{\to} \dfrac{3}{8} (1+x)^{-\frac{5}{2}}\end{align}$$より、$$\sqrt{1+x}=1+\dfrac{1}{2} x-\dfrac{1}{8} x^2+\dfrac{1}{16} x^3+ o(x^3)$$となるから、
$\begin{align}& \ \ \ \ \ (2-x)\left(1+\dfrac{1}{2} x-\dfrac{1}{8} x^2+\dfrac{1}{16} x^3+ o(x^3 )\right) \\ &=2-\dfrac{3}{4} x^2+\dfrac{1}{4} x^3-\dfrac{1}{16} x^4+(2-x)o(x^3 ) \\ &=2-\dfrac{3}{4} x^2+\dfrac{1}{4} x^3+o(x^3 ) \cdots \cdots \text{(答)}\end{align}$
（３）
$f(x)=e^{2x} \sin x$とおくと、
$f^{(1)} (x)=2e^{2x} \sin x+e^{2x} \cos x$
$f^{(2)} (x)=3e^{2x} \sin x+4e^{2x} \cos x$
$f^{(3)} (x)=2e^{2x} \sin x+11e^{2x} \cos x$
であるから、
$\begin{align} f(x) &=f(0)+f^{(1)} (0)x+\dfrac{f^{(2)} (0)}{2!} x^2+\dfrac{f^{(3)} (0)}{3!} x^3+o(x^3) \\
&=0+1 \cdot x+\dfrac{4}{2!} x^2+\dfrac{11}{3!} x^3+o(x^3 ) \\
&=x+2x^2+\dfrac{11}{6} x^3+o(x^3 ) \cdots \cdots \text{(答)}\end{align}$
【別解】
$\begin{align}& \ \ \ \ \ e^{2x} \sin x \\ &=\left\{1+(2x)+\dfrac{1}{2!} (2x)^2+\dfrac{1}{3!} (2x)^3+o(x^3 ) \right\} \cdot \left\{ x-\dfrac{1}{3!} x^3+o(x^3 )\right\} \\ &=x+2x^2+\dfrac{11}{6} x^3-x^4-\dfrac{1}{3} x^5-\dfrac{2}{9} x^6 \\ & \ \ \ \ \ \ \ +\left\{ 1+3x+2x^2-\dfrac{7}{6} x^3+o(x^3 ) \right\} \cdot o(x^3 ) \\ &=x+2x^2+\dfrac{11}{6} x^3+o(x^3 ) \cdots \cdots \text{(答)}\end{align}$
（おまけ：$e^{2x} \cos x$の場合）
$f(x)=e^{2x} \cos x$とおくと、
$f^{(1)} (x)=2e^{2x} \cos x-e^{2x} \sin x$
$f^{(2)} (x)=3e^{2x} \cos x-4e^{2x} \sin x$
$f^{(3)} (x)=2e^{2x} \cos x-11e^{2x} \sin x$
であるから、
$\begin{align} f(x) &=f(0)+f^{(1)} (0)x+\dfrac{f^{(2)} (0)}{2!} x^2+\dfrac{f^{(3)} (0)}{3!} x^3+o(x^3) \\ &=1+2 \cdot x+\dfrac{3}{2!} x^2+\dfrac{2}{3!} x^3+o(x^3 ) \\ &=1+2x+\dfrac{3}{4} x^2+\dfrac{1}{3} x^3+o(x^3 ) \cdots \cdots \text{(答)}\end{align}$
（４）
$f(x)=\tan^{-1}x$とおくと、
$f^{(1)} (x)=\dfrac{1}{1+x^2}=(1+x^2 )^{-1}$
$f^{(2)} (x)=-2x(1+x^2 )^{-2}$
$f^{(3)} (x)=-2(1+x^2 )^{-2}+8x^2 (1+x^2 )^{-3}$
であるから、
$\begin{align} f(x) &=f(0)+f^{(1)} (0)x+\dfrac{f^{(2)} (0)}{2!} x^2+\dfrac{f^{(3)} (0)}{3!} x^3+o(x^3) \\
&=0+1 \cdot x+\dfrac{0}{2!} x^2+\dfrac{-2}{3!} x^3+o(x^3 ) \\
&=x-\dfrac{1}{3} x^3+o(x^3 ) \cdots \cdots \text{(答)}\end{align}$
本問の復習例題は設定していませんが、当サイトの記事「ランダウの記号と漸近展開の2通りの求め方（漸近展開の合成）」に演習問題を掲載しています。