問題3.3.1a
次の広義積分の値を求めよ。
（１）$\displaystyle \int_0^3 \dfrac{1}{\sqrt{3-x}}dx$
（２）$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \dfrac{\cos x}{\sqrt{\sin x}} dx$
（３）$\displaystyle \int_0^{\infty} xe^{-x} dx$
（４）$\displaystyle \int_0^{\infty} xe^{-x^2} dx$
（５）$\displaystyle \int_{-1}^1 \dfrac{1}{\sqrt{|x|}} dx$
《ポイント》
広義積分は積分範囲が閉区間でないのが特徴で、具体的な計算では極限をとる操作をします。例えば、$$\displaystyle \int_0^{\infty} \dfrac{1}{\sqrt{x}} dx$$という広義積分は$$\displaystyle \lim_{\alpha \to 0} \lim_{\beta \to \infty} \int_{\alpha}^{\beta} \dfrac{1}{\sqrt{x}} dx$$という積分の略です。統計学や物理学の範囲で利用される積分の形です。
《解答例》
（１）
$\begin{align}& \ \ \ \ \ \displaystyle \int_0^3 \dfrac{1}{\sqrt{3-x}}dx \\
&=\displaystyle \lim_{\alpha \to 3-0} \left[-2\sqrt{3-x}\right]_0^{\alpha} \\
&=\displaystyle \lim_{\alpha \to 3-0}(-2\sqrt{3-\alpha})+2\sqrt 3=2\sqrt 3 \ \ \cdots \cdots \text{(答)} \end{align}$
（２）
$\begin{align}& \ \ \ \ \ \displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \dfrac{\cos x}{\sqrt{\sin x}} dx \\ &=\displaystyle \lim_{\alpha \to +0} \left[2\sqrt{\sin x}\right]_{\alpha}^{\frac{\pi}{2}} \\
&=2-\displaystyle \lim_{\alpha \to +0}(2\sqrt{\sin \alpha})=2 \ \ \cdots \cdots \text{(答)} \end{align}$
（３）
$\begin{align}& \ \ \ \ \ \displaystyle \int_0^{\infty} xe^{-x} dx \\
&=\displaystyle \lim_{\alpha \to\infty}\left[-xe^{-x} \right]_0^{\alpha}+\displaystyle \int_0^{\infty} e^{-x} dx \\
&=\displaystyle \lim_{\alpha \to \infty}\left[-xe^{-x}-e^{-x} \right]_0^{\alpha} \\
&=-\displaystyle \lim_{\alpha \to\infty}(\alpha e^{-\alpha}+e^{-\alpha})+1=1 \ \ \cdots \cdots \text{(答)} \end{align}$
※$\displaystyle \lim_{\alpha \to \infty} \alpha e^{-\alpha}=0$ は $e^x>1+x+\dfrac{1}{2} x^2$ などの不等式から示されますが、ここでは既知の事実として扱いました。
（４）
$\begin{align}& \ \ \ \ \ \displaystyle \int_0^{\infty} xe^{-x^2} dx \\
&=\displaystyle \lim_{\alpha \to\infty} \left[-\dfrac{1}{2} e^{-x^2}\right]_0^{\alpha} \\
&=-\displaystyle \lim_{\alpha \to\infty}\left(-\dfrac{1}{2} e^{-{\alpha}^2}\right)+\dfrac{1}{2} \\
&=\dfrac{1}{2} \ \ \cdots \cdots \text{(答)} \end{align}$
（５）
$\begin{align}& \ \ \ \ \ \displaystyle \int_{-1}^1 \dfrac{1}{\sqrt{|x|}} dx \\
&=\displaystyle \int_{-1}^0 \dfrac{1}{\sqrt{-x}} dx+\displaystyle \int_0^1 \dfrac{1}{\sqrt{x}} dx \\
&=\displaystyle \lim_{\alpha \to -0} \left[-2\sqrt(-x)\right]_{-1}^{\alpha} +\displaystyle \lim_{\beta \to +0} \left[2\sqrt x\right]_{\beta}^1 \\
&=\displaystyle \lim_{\alpha \to-0}(-2\sqrt{-\alpha})-\displaystyle \lim_{\beta \to +0}(2\sqrt{\beta})+4 \\
&=4 \ \ \cdots \cdots \text{(答)} \end{align}$
復習例題未設定