問題2.1.1b
次の関数の導関数を求めよ。
（１０）$e^{\tan^{-1}x}$
（１１）$x\sqrt{a^2-x^2}+a^2 \sin^{-1}\dfrac{x}{a}$
（１２）$\sin^{-1}\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}$
（１３）$2 \cos^{-1}\sqrt{\dfrac{x+1}{2}}$
（１４）$\sqrt{\dfrac{(x-1)(x-2)}{(x-3)(x-4)}}$
（１５）$\sqrt[3]{\dfrac{x^2+1}{(x-1)^2}}$
《ポイント》
適宜、対数微分法を利用しましょう。
《解答例》
（１０）
$y=e^{\tan^{-1}}x$ の両辺に自然対数を取ると、$\logy=\tan^{-1}x$となる。
よって $\dfrac{dy}{dx}=y \cdot \dfrac{1}{1+x^2}$ である。
$∴\dfrac{d}{dx} {e^{\tan^{-1}x}}=e^{\tan^{-1}}\dfrac{x}{1+x^2} \ \ \cdots \cdots \text{(答)}$
$\begin{align}&\ \ \ \ \ \dfrac{d}{dx} {(x^2+1)^5 (x^3-2)^3 }\\ &=(x^3-2)^2 (x^2+1)^4 \left\{9x^2 (x^2+1)+10x(x^3-2)\right\} \\ &=x(x^3-2)^2 (x^2+1)^4 (19x^3+9x-20) \ \ \cdots \cdots \text{(答)} \end{align} $
（１１）
$\dfrac{d}{dx} x\sqrt{a^2-x^2 }=-\dfrac{x^2}{\sqrt{a^2-x^2}} +\sqrt{a^2-x^2} \ \ \cdots \cdots$①
$\dfrac{d}{dx} a^2 \sin^{-1}\dfrac{x}{a}=\dfrac{a}{\sqrt{1-\left( \dfrac{x}{a}\right)^2 }}=\dfrac{a^2}{\sqrt{a^2-x^2}} \ \ \cdots \cdots$②
①、②の辺々を加えると
$\begin{align}&\ \ \ \ \ \dfrac{d}{dx} \left( x\sqrt{a^2-x^2}+a^2 \sin^{-1}\dfrac{x}{a} \right) \\ &=\dfrac{a^2-x^2}{\sqrt{a^2-x^2}}+\sqrt{a^2-x^2} \\ &=2\sqrt{a^2-x^2} \ \ \cdots \cdots \text{(答)} \end{align} $
（１２）
$\begin{align}&\ \ \ \ \ \dfrac{d}{dx} \left( \sin^{-1}\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}} \right) \\ &=\left( \dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}} \right)^{´} \cdot \dfrac{1}{\sqrt{1-\left( \dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}} \right)^2}} \\ &=\dfrac{(1+x^2)-x^2}{(1+x^2)\sqrt{1+x^2}} \sqrt{1+x^2} \\ &=\dfrac{1}{1+x^2} \ \ \cdots \cdots \text{(答)} \end{align}$
（１３）
$\begin{align}&\ \ \ \ \ \dfrac{d}{dx} \left( 2 \cos^{-1}\sqrt{\dfrac{x+1}{2}} \right) \\ &=2\left(\sqrt{\dfrac{x+1}{2}} \right)^{´} \cdot \dfrac{-1}{\sqrt{1- \left( \sqrt{\dfrac{x+1}{2}} \right)^2}} \\
&=-2 \cdot \dfrac{1}{4\sqrt{\dfrac{x+1}{2}}} \cdot \dfrac{1}{\sqrt{\dfrac{1-x}{2}}} \\ &=-\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} \ \ \cdots \cdots \text{(答)} \end{align}$
（１４）
$y=\sqrt{\dfrac{(x-1)(x-2)}{(x-3)(x-4)}}$ の両辺に自然対数を取ると、
$\log y=\dfrac{1}{2} \left\{\log(x-1)+\log(x-2)-\log(x-3)-\log(x-4) \right\}$
$\begin{align}&∴\dfrac{dy}{dx} \\ &= y\cdot \dfrac{1}{2} \left( \dfrac{1}{x-1}+\dfrac{1}{x-2}-\dfrac{1}{x-3}-\dfrac{1}{x-4} \right) \\ &=\dfrac{1}{2} \left( \dfrac{1}{x-1}+\dfrac{1}{x-2}-\dfrac{1}{x-3}-\dfrac{1}{x-4} \right) \sqrt{\dfrac{(x-1)(x-2)}{(x-3)(x-4)}} \ \ \cdots \cdots \text{(答)} \end{align}$
※$-\dfrac{2x^2-10x+11}{x-1)(x-2)(x-3)(x-4)} \sqrt{\dfrac{(x-1)(x-2)}{(x-3)(x-4)}}$ でも可
（１５）
$y=\sqrt[3]{\dfrac{x^2+1}{(x-1)^2}}$ の両辺に自然対数を取ると、
$\log y=\dfrac{1}{3} \{\log(x^2+1)-2 \log(x-1) \} $
$\begin{align} &∴\dfrac{dy}{dx} \\ &= y \cdot \dfrac{1}{3} \left( \dfrac{2x}{x^2+1}-\dfrac{2}{x-1} \right) \\ &=\sqrt[3]{\dfrac{x^2+1}{(x-1)^2}} \left( \dfrac{2x}{x^2+1}-\dfrac{2}{x-1} \right) \ \ \cdots \cdots \text{(答)} \end{align}$
※$-\left( \dfrac{2(x+1)}{3(x^2+1)(x-1)} \right) \sqrt[3]{\dfrac{x^2+1}{(x-1)^2}} $でも可
復習例題2.1.1b
次の関数の導関数を求めよ。
（１）$\dfrac{1}{\sin ^{\frac{3}{2}}(x)}$
（２）$2 \arcsin \sqrt{\dfrac{x+1}{2}}$
（３）$\sqrt{\dfrac{\arcsin x}{x^{2}+1}}$