培風館『入門微分積分』第2章・問題2.1.3の解答解説です。問題文、解法の要点、途中式を含む解答例を整理しています。
問題2.1.3
$y=\sinh x$は$(-\infty , \infty)$で逆関数を持つことを示せ。
また、$y=\sinh x$の逆関数を$y=\sinh^{-1} x$と表すとき、$\dfrac{d}{dx} \sinh^{-1} x$を求めよ。
解法の要点
$y=f(x)$の逆関数は$x=f(y)$により与えられますが、$x=f(y)$が「関数」として定義可能でなければ$y=f(x)$の逆関数は存在しません。ここで「関数」であるとは、「$x$の値に対して$y$の値がただ一つ定まる（$y$の値に対して$x$の値がただ一つ定まる）」という条件を満たすことを指しています。多価関数の場合は$x$の値に対して$y$の値が複数存在するため、逆関数が定義できません。
解答例
$f(x)=\sinhx=\dfrac{e^x-e^{-x}}{2}$ とする。
$y=\dfrac{e^x-e^{-x}}{2}$ において$e^x=t \ (>0)$と置くと、
$∴y=\dfrac{t-\dfrac{1}{t}}{2}\ \ \ ∴e^x=y+\sqrt(y^2+1)$
$∴x=\log(y+\sqrt{y^2+1})$
ここで、曲線 $y=\dfrac{e^x-e^{-x}}{2}$ は $y’=\dfrac{e^x+e^{-x}}{2}>0$ より、すべての実数について単調増加であるから、$y$の値に対して$x$の値がただ一つ定まる。故に$y=\log(x+\sqrt{x^2+1})$について、$x$の値に対して$y$の値がただ一つ定まる。
したがって$y=\sinh x$は$(-\infty , \infty)$において逆関数$$y=\log(x+\sqrt{x^2+1})$$を持つ。また、導関数は
$\begin{align}&\ \ \ \ \ \dfrac{d}{dx} \left\{\log(x+\sqrt{x^2+1}) \right\} \\ &=\left( 1+\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}\right) \cdot \dfrac{1}{\sqrt{x^2+1}+x} \\ &= \dfrac{1}{\sqrt{x^2+1}} \ \ \cdots \cdots \text{(答)} \end{align} $
である。
復習例題未設定