微積2.3.4

前に戻る トップへ戻る 次の問題へ

問題2.3.4

$y=f(x)$の逆関数を$x=f^{-1} (y)$とする。$f$が2回微分可能で $f'(x) \ne 0$ ならば、$f^{-1} (y)$も$y$に関して2回微分可能であり、次の式が成り立つことを示せ。

$$\dfrac{d^2 x}{dy^2}=-\dfrac{\dfrac{d^2 y}{dx^2} }{ \left( \dfrac{dy}{dx} \right)^3}$$

 

《ポイント》

逆関数 $x=f^{-1} (y)$ とは、$b=f(a)$のとき、$x=b$を
代入すると$y=a$を返す関数のことです。したがって$f^{-1} (x)$の微分係数は $\dfrac{dx}{dy}$ となります。どの変数で微分しているのか、よく注意して式変形を進めましょう。

 


 

《解答例》

まず $\dfrac{dx}{dy}=\dfrac{1}{\left( \dfrac{dy}{dx} \right)}$ に注意する。
$$\dfrac{d^2 x}{dy^2}=-\dfrac{\dfrac{d^2 y}{dx^2} }{ \left( \dfrac{dy}{dx} \right)^3} \ \cdots \cdots (\ast)$$とする。

$(\ast)$の左辺について、

$\begin{align} & \ \ \ \ \ \dfrac{d^2 x}{dy^2}=\dfrac{d}{dy} \cdot \dfrac{dx}{dy} \\
&=\dfrac{d}{dy} \dfrac{1}{\left( \dfrac{dy}{dx} \right)} \\
&=-\dfrac{d}{dy} \cdot \dfrac{\left( \dfrac{dy}{dx}\right)}{\left(\dfrac{dy}{dx} \right)^2} \ \ (∵\text{商の微分}) \end{align}$

となり、$(\ast)$の右辺について、

$\begin{align} & \ \ \ \ \ -\dfrac{\left( \dfrac{d^2 y}{dx^2} \right)}{ \left( \dfrac{dy}{dx} \right)^3}=-\dfrac{\dfrac{d}{dx} \left( \dfrac{dy}{dx}\right) }{\left(\dfrac{dy}{dx}\right)^3}  \\
&=-\dfrac{d}{dx} \cdot \dfrac{1}{\left( \dfrac{dy}{dx} \right)} \cdot \dfrac{\left(\dfrac{dy}{dx}\right)}{\left(\dfrac{dy}{dx}\right)^2} \\
&=-\dfrac{d}{dx}\cdot \dfrac{dx}{dy}\cdot \dfrac{\dfrac{dy}{dx}}{\left(\dfrac{dy}{dx}\right)^2} \\
&=-\dfrac{\dfrac{d}{dy} \left( \dfrac{dy}{dx} \right)}{\left( \dfrac{dy}{dx} \right)^2} \end{align}$

となるので(左辺)=(右辺)が成立するから、等式
$$\dfrac{d^2 x}{dy^2}=-\dfrac{\dfrac{d^2 y}{dx^2} }{ \left( \dfrac{dy}{dx} \right)^3}$$
の成立が示された。

 

【別解】

$\dfrac{dx}{dy}=\dfrac{1}{f'(x)}$ の両辺を$y$で微分すると、

$\begin{align} & \ \ \ \ \ \dfrac{d^2 x}{dy^2}=\dfrac{d}{dy} \cdot \dfrac{1}{f'(x)} \\
&=\dfrac{d}{dx}\cdot \dfrac{1}{f'(x)} \cdot \dfrac{dx}{dy} \\
&=-\dfrac{f^{\prime\prime} (x)}{\{f’ (x)\}^2} \cdot \dfrac{1}{f'(x)} \end{align}$

$$∴\dfrac{d^2 x}{dy^2}=-\dfrac{\dfrac{d^2 y}{dx^2} }{ \left( \dfrac{dy}{dx} \right)^3}$$

 

 


 

この問題に復習例題は設定していません。

 


前に戻る トップへ戻る 次の問題へ