問題3.2.6
$I_n=\displaystyle \int \dfrac{1}{(x^2+1 )^n} dx$ と置く。$I_n$は次の漸化式を満たすことを示せ。
$I_{n+1}=\dfrac{x}{2n(x^2+1 )^n} $ $+$ $\dfrac{2n-1}{2n} I_n \ (n \geqq 1) $
これを用いて、$J_n=\displaystyle \int_0^1 \dfrac{1}{(x^2+1 )^n} dx$ の漸化式を求め、$J_3$を計算せよ。
《ポイント》
積分漸化式の問題では部分積分により $n$ と $n+1$ の関係式を作るのが基本的なアプローチとなります。以下では、
$I_n=\displaystyle \int \dfrac{1}{(x^2+a^2 )^n} dx$ 、
$J_n=\displaystyle \int_0^a \dfrac{1}{(x^2+a^2 )^n} dx$
として、より一般的に解答しましょう。漸化式
$I_{n+1}=\dfrac{x}{2a^2 n(x^2+a^2 )^n} $ $+$ $\dfrac{2n-1}{2a^2 n} I_n \ (n \geqq 1) $
が成立することを示します。
《解答例》
（１）
$\begin{align}& \ \ \ \ \ I_n \\
&=\displaystyle \int x’ \cdot \dfrac{1}{(x^2+a^2 )^n} dx \\
&=\dfrac{x}{(x^2+a^2 )^n} \\ & \ \ \ \ \ \ +2n\displaystyle \int \dfrac{x^2}{(x^2+a^2 )^{n+1}} dx \\
&=\dfrac{x}{(x^2+a^2 )^n} \\ & \ \ \ \ \ \ +2n\displaystyle \int \left\{\dfrac{x^2+a^2}{(x^2+a^2 )^{n+1}} -\dfrac{a^2}{(x^2+a^2 )^{n+1}} \right\} dx \\
&=\dfrac{x}{(x^2+a^2 )^n} \\ & \ \ \ \ \ \ +2n\displaystyle \int \dfrac{1}{(x^2+a^2 )^n} dx-2a^2 n\displaystyle \int \dfrac{1}{(x^2+a^2)^{n+1}} dx \end{align}$
$\therefore I_n=\dfrac{x}{(x^2+a^2 )^n} +2nI_n-2a^2 nI_{n+1}$
$\begin{align} \therefore I_{n+1}=\dfrac{x}{2a^2 n(x^2+a^2 )^n} &+\dfrac{2n-1}{2a^2 n} I_n \ (n \geqq 1) \end{align}$
□
次に、
$\begin{align}J_1&=\displaystyle \int_0^a \dfrac{1}{x^2+a^2} dx \\
&=\dfrac{1}{a} \displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{4}} d \theta \\
&=\dfrac{\pi}{4a} \end{align}$
（途中 $x=a \tan \theta$ と置換した）であるから、
$\begin{align}J_2&=\left[\dfrac{x}{2a^2 (x^2+a^2)}\right]_0^a+\dfrac{1}{2a^2}J_1 \\
&=\dfrac{1}{4a^3}+\dfrac{\pi}{8a^3} \end{align}$
$\begin{align}J_3&=\left[\dfrac{x}{4a^2 (x^2+a^2 )^2}\right]_0^a+\dfrac{3}{4a^2}J_2 \\
&=\dfrac{1}{4a^5}+\dfrac{3}{32a^5}\pi \end{align}$
（本問の答を得るにはこれに $a=1$ を代入すればよい）
この問題に復習例題は設定していません。