問題4.1.4
次の関数の偏導関数を求めよ。
（１）$z=x^2y^5-2x^3y^2+y$
（２）$z=x^3+y^2+2$
（３）$z=\sin(x^2y)$
（４）$z=\cos(x^2+xy)$
（５）$z=\dfrac{x+y}{x-y}$
《ポイント》
偏導関数の計算方法は基本的にこれまでの微分計算と全く変わりませんから、微分計算ができていればそれほど問題は無いでしょう。なお、ごく基本的なことではありますが、偏導関数の個数は文字の個数分だけ存在するので、特に3文字以上の多変数関数の場合、$x$と$y$に対して偏導関数を求めるだけで満足して終わってしまわないように注意しましょう。･･･案外ケアレスミスが多かったりします。
《解答例》
（１）$z=x^2y^5-2x^3y^2+y$
$\dfrac{\partial z}{\partial x}=2xy^5-6x^2y^2$
$\dfrac{\partial z}{\partial y}=5x^2y^4-4x^3y+1$
（２）$z=x^3+y^2+2$
$\dfrac{\partial z}{\partial x}=3x^2$
$\dfrac{\partial z}{\partial y}=2y$
（３）$z=\sin(x^2y)$
$\dfrac{\partial z}{\partial x}=2xy\cos(x^2y)$
$\dfrac{\partial z}{\partial y}=x^2\cos(x^2y)$
（４）$z=\cos(x^2+xy)$
$\dfrac{\partial z}{\partial x}=-(2x+y)\sin(x^2+xy)$
$\dfrac{\partial z}{\partial y}=-x\sin(x^2+xy)$
（５）$z=\dfrac{x+y}{x-y}$
$\begin{align} \dfrac{\partial z}{\partial x}&=\dfrac{(x-y)-(x+y)}{(x-y)^2} \\ &=-\dfrac{2y}{(x-y)^2} \end{align}$
$\begin{align} \dfrac{\partial z}{\partial y}&=\dfrac{(x-y)+(x+y)}{(x-y)^2} \\ &=\dfrac{2x}{(x-y)^2} \end{align}$
（６）$z=\log(x^2+xy+y^2)$
$\dfrac{\partial z}{\partial x}=\dfrac{2x+y}{x^2+xy+y^2}$
$\dfrac{\partial z}{\partial y}=\dfrac{x+2y}{x^2+xy+y^2}$
（７）$z=\log \sqrt{x^2+y^2}$
$z$は $\dfrac{1}{2}\log (x^2+y^2)$ と書き直せる。よって
$\dfrac{\partial z}{\partial x}=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{2x}{x^2+y^2}=\dfrac{x}{x^2+y^2}$
$\dfrac{\partial z}{\partial y}=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{2y}{x^2+y^2}=\dfrac{y}{x^2+y^2}$
※根号を付けたまま微分しても結果は変わりませんが、計算する労力はかなり違うと思います。
（８）$z=\tan^{-1} \dfrac{y}{x}$
$\tan^{-1}u$ を$u$について微分すると$\dfrac{1}{1+u^2}$となるから、
$\begin{align} \dfrac{\partial z}{\partial x}&=-\dfrac{y}{x^2}\cdot \dfrac{1}{1+\left(\dfrac{y}{x}\right)^2} \\ &=-\dfrac{y}{x^2+y^2} \end{align}$
$\begin{align} \dfrac{\partial z}{\partial y}&=\dfrac{1}{x}\cdot \dfrac{1}{1+\left(\dfrac{y}{x}\right)^2} \\ &=\dfrac{x}{x^2+y^2} \end{align}$
※中身の微分を忘れないように注意しましょう。
（９）$w=x^2y^3z^2$
$\dfrac{\partial w}{\partial x}=2xy^3z^2$
$\dfrac{\partial w}{\partial y}=3x^2y^2z^2$
$\dfrac{\partial w}{\partial z}=2x^2y^3z$
（１０）$w=\sin^{-1}(x+yz)$
$\sin^{-1}u$ を$u$について微分すると$\dfrac{1}{\sqrt{1-u^2}}$となるから、
$\dfrac{\partial w}{\partial x}=\dfrac{1}{\sqrt{1-(x+yz)^2}}$
$\dfrac{\partial w}{\partial y}=\dfrac{z}{\sqrt{1-(x+yz)^2}}$
$\dfrac{\partial w}{\partial z}=\dfrac{y}{\sqrt{1-(x+yz)^2}}$
復習例題は設定していません。