問題5.4.1c
次の図形の体積を求めよ。
（３）曲面 $z=x^2+y^2$ と平面 $z=2x$ に囲まれた部分
（４）$0 \leqq x+y \leqq 1$、$0 \leqq y+z \leqq 1$、$0 \leqq z+x \leqq 1$
《ポイント》
空間内の図形$V$の体積$v(V)$は$$v(V)=\iiint_{V}dxdydz$$で与えられます。まずは空間内の図形を不等式で正しく定義する必要があります。図形の形によっては空間の極座標を利用した方が良いこともありますので、苦手な人はよく練習しておきましょう。
《解答例》
（３）曲面 $z=x^2+y^2$ と平面 $z=2x$ に囲まれた部分
有限の領域 $x^2+y^2 \leqq z \leqq 2x$ を$V$とし、領域$D$を$$D=\left\{(x,y)\middle|\ x^2+y^2 \leqq 2x \right\}$$で定義する。$V$の体積を$v(V)$と置くと、$$\begin{align}v(V)&=\iiint_{V}dxdydz \\ &=\iint_{D} dxdy \int^{2x}_{x^2+y^2}dz \\ &=\iint_{D}\{2x-(x^2+y^2)\}\ dxdy \end{align}$$となる。ここで $x=r\cos \theta$、$y=r\sin \theta$ と置くと、$D$は中心$\left(1,0\right)$、半径$1$の円であるから、$r$、$\theta$の範囲は $0 \leqq r \leqq 2\cos \theta$、$-\dfrac{\pi}{2} \leqq \theta \leqq \dfrac{\pi}{2}$ となる。よって$$D=\left\{(r, \theta) \mid 0 \leqq r \leqq 2 \cos \theta,-\frac{\pi}{2} \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}\right\}$$で定義する。$V$の体積を$v(V)$と置くと、$$\begin{align}&\ \ \ \ \ \iint_{D}\{2x-(x^2+y^2)\}\ dxdy \\ &=\int^{\frac{\pi}{2}}_{-\frac{\pi}{2}}d\theta \int^{2\cos \theta}_{0}(2r\cos \theta-r^2)r\ dr \\ &=\int^{\frac{\pi}{2}}_{-\frac{\pi}{2}}d\theta \int^{2\cos \theta}_{0}(2r^2\cos \theta-r^3)\ dr \\ &=\int^{\frac{\pi}{2}}_{-\frac{\pi}{2}} \left[\dfrac{2}{3}r^3\cos\theta-\dfrac{1}{4}r^4 \right]^{2\cos \theta}_{0}d\theta \\ &=\int^{\frac{\pi}{2}}_{-\frac{\pi}{2}} \dfrac{4}{3}\cos^4\theta\ d\theta \\ &=\dfrac{8}{3}\int^{\frac{\pi}{2}}_{0} \cos^4\theta\ d\theta \\ &=\dfrac{8}{3} \cdot \dfrac{3 \cdot 1}{4 \cdot 2} \cdot \dfrac{\pi}{2} \\ &=\dfrac{\pi}{2} \ \ \cdots \cdots \text{(答)} \end{align}$$と求められる。
※$2x \leqq z \leqq x^2+y^2$ で定まる領域は$x$、$y$を大きくすれば幾らでも広がるため、有限の体積をもちません。
※別解として $x=r\cos \theta+1$、$y=r\sin \theta$（$0 \leqq r \leqq 1$、$0 \leqq \theta \leqq 2\pi$）と置く方法も考えられます。この場合は$$\begin{align}&\ \ \ \ \ \iint_{D}\{2x-(x^2+y^2)\}\ dxdy \\ &=\int^{2\pi}_{0}d\theta \int^{1}_{0}(r-r^3)dr \\ &=2\pi \left[\dfrac{1}{2}r^2-\dfrac{1}{4}r^4 \right]^{1}_{0} \\ &=\dfrac{\pi}{2} \ \ \cdots \cdots \text{(答)} \end{align}$$となり、幾分簡単に求められます。
（４）$0 \leqq x+y \leqq 1$、$0 \leqq y+z \leqq 1$、$0 \leqq z+x \leqq 1$
$$V=\left\{(x,y,z)\ \middle|\ 0 \leqq x+y \leqq 1、0 \leqq y+z \leqq 1、0 \leqq z+x \leqq 1\right\}$$と置く。$u=x+y$、$v=y+z$、$w=z+x$ と置き、領域$W$を$$W=\left\{(u,v,w)\ \middle|\ 0 \leqq u \leqq 1、0 \leqq v \leqq 1、0 \leqq w \leqq 1\right\}$$と定義すると、$$\begin{cases} x=\dfrac{u-v+w}{2} \\ y=\dfrac{u+v-w}{2} \\ z=\dfrac{-u+v+w}{2} \end{cases}$$と表せて、ヤコビアンは$$\begin{align}\left|\dfrac{\partial (x,y,z)}{\partial (u,v,w)}\right|&=\left|\det\left(\begin{array}{rrr} \dfrac{1}{2} & -\dfrac{1}{2} & \ \dfrac{1}{2} \\ \dfrac{1}{2} & \ \dfrac{1}{2} & -\dfrac{1}{2} \\ -\dfrac{1}{2} & \ \dfrac{1}{2} & \ \dfrac{1}{2} \end{array}\right)\right| \\ &=\dfrac{1}{8}\left|\det\left(\begin{array}{rrr} 1 & -1 & \ 1 \\ 1 & \ 1 & -1 \\ -1 & \ 1 & \ 1 \end{array}\right)\right| \\ &=\dfrac{1}{2} \end{align}$$と求められるので、$dxdydz=\dfrac{1}{2}dudvdw$ が成り立つ。これより$V$の体積を$v(V)$と置くと、$$\begin{align}v(V)&=\iiint_{V}dxdydz \\ &=\iiint_{W}\dfrac{1}{2}dudvdw \\ &=\dfrac{1}{2}\int^{1}_{0}du\int^{1}_{0}dv\int^{1}_{0}dw \\ &=\dfrac{1}{2} \ \ \cdots \cdots \text{(答)} \end{align}$$と求められる。
復習例題は設定していません。