微積復習例題1.3.2

復習例題1.3.2

次の方程式を解け。

(1)$\cos^{-1} x = \cos^{-1} \dfrac{\sqrt 3}{2} +2\sin^{-1} \dfrac{\sqrt 3}{2}$

(2)$\sin^{-1} \dfrac{1}{2}x= 2\cos^{-1} \dfrac{\sqrt 2}{2}$

(3)$\tan^{-1} x = \tan^{-1} 2 + \sin^{-1} \left( -\dfrac{1}{2} \right)$

 

《ポイント》

(1)と(2)は問題無いと思います。(3)ではtangentの加法定理が必要です。覚えていなければsineとcosineの加法定理から導きましょう。

 


 

《解答例》(文字には置かず略記します)

(1)

$\begin{align} \cos^{-1} x &= \cos^{-1} \dfrac{\sqrt 3}{2} +2\sin^{-1} \dfrac{\sqrt 3}{2} \\ &= \dfrac{\pi}{2}+2 \cdot \dfrac{\pi}{3} \\ &= \dfrac{5}{6}\pi \end{align} $

$\therefore x=\cos \dfrac{5}{6}\pi = -\dfrac{\sqrt 3}{2} \ \ \cdots \cdots (\text{答})$

 

(2)

$\begin{align} \sin^{-1} \dfrac{1}{2}x &= 2\cos^{-1} \dfrac{\sqrt 2}{2} \\ &= 2 \cdot \dfrac{\pi}{4} \\ &= \dfrac{\pi}{2} \end{align} $

$\therefore \dfrac{1}{2}x =\sin \dfrac{\pi}{2} = 1 \ \ \ \ \therefore x =2 \ \ \cdots \cdots (\text{答})$

 

(3)

$\begin{align} \tan^{-1} x &= \tan^{-1} 2 + \sin^{-1} \left( -\dfrac{1}{2} \right) \\ &= \alpha \ – \dfrac{\pi}{6} \end{align}$

(ただし$\tan^{-1} 2=\alpha$と置いた)

$\begin{align} \therefore x &= \tan \left( \alpha \ – \dfrac{\pi}{6} \right) = \dfrac{\tan \alpha -\tan \dfrac{\pi}{6}}{1+\tan \alpha \tan \dfrac{\pi}{6}} \\ &=\dfrac{2 -\dfrac{1}{\sqrt{3}}}{1+\dfrac{2}{\sqrt{3}}} =\dfrac{2\sqrt{3} -1}{\sqrt{3}+2} \\ &=\dfrac{(2\sqrt{3} -1)(\sqrt{3}-2)}{(\sqrt{3}+2)(\sqrt{3}-2)} =\dfrac{5\sqrt{3} -8}{4-3} \\ &=5\sqrt{3} -8 \ \ \cdots \cdots (\text{答}) \end{align}$

 


 

《コメント》

(3)tangentの加法定理を利用していますが、これはsineとcosineの加法定理から導くことができます。例えば$\tan (\alpha \ + \beta)$の場合は

$\begin{align} \tan (\alpha + \beta) &=\dfrac{\sin (\alpha + \beta)}{\cos (\alpha + \beta)} \\ &= \dfrac{\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta}{\cos \alpha \cos \beta \ – \ \sin \alpha \sin \beta } \\ &=\dfrac{\tan \alpha + \tan \beta}{1\ – \ \tan \alpha \tan \beta} \end{align}$

となります。最後の行では分子と分母を$\cos \alpha \cos \beta$で割っています。マイナスの場合も同様なので結局tangentの加法定理は$$\tan (\alpha \pm \beta)=\dfrac{\tan\alpha \pm \tan\beta}{1 \mp \tan\alpha\tan\beta}$$とまとめることができます。

 


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