微積2.1.1b

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問題2.1.1b

 次の関数の導関数を求めよ。

(10)$e^{\tan^{-1}⁡x}$

(11)$x\sqrt{a^2-x^2}+a^2 \sin^{-1}⁡\dfrac{x}{a}$

(12)$\sin^{-1}\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}$

(13)$2 \cos^{-1}⁡\sqrt{\dfrac{x+1}{2}} $

(14)$\sqrt{\dfrac{(x-1)(x-2)}{(x-3)(x-4)}}$

(15)$\sqrt[3]{\dfrac{x^2+1}{(x-1)^2}}$

 

《ポイント》

適宜、対数微分法を利用しましょう。

 


 

《解答例》

(10)

$y=e^{tan^{-1}⁡}x$ の両辺に自然対数を取ると、$\log⁡y=\tan^{-1}⁡x$となる。

よって $\dfrac{dy}{dx}=y \cdot \dfrac{1}{1+x^2}$ である。

$∴\dfrac{d}{dx} {e^{\tan^{-1}⁡x}}=e^{\tan^{-1}}\dfrac{x}{1+x^2} \ \ \cdots \cdots \text{(答)}$

$\begin{align}&\ \ \ \ \ \dfrac{d}{dx} {(x^2+1)^5 (x^3-2)^3 }\\ &=(x^3-2)^2 (x^2+1)^4 \left\{9x^2 (x^2+1)+10x(x^3-2)\right\} \\ &=x(x^3-2)^2 (x^2+1)^4 (19x^3+9x-20) \ \ \cdots \cdots \text{(答)} \end{align} $

 

(11)

$\dfrac{d}{dx} x\sqrt{a^2-x^2 }=-\dfrac{x^2}{\sqrt{a^2-x^2}} +\sqrt{a^2-x^2} \ \ \cdots \cdots$①

$\dfrac{d}{dx} a^2 \sin^{-1}⁡\dfrac{x}{a}=\dfrac{a}{\sqrt{1-\left( \dfrac{x}{a}\right)^2 }}=\dfrac{a^2}{\sqrt{a^2-x^2}} \ \ \cdots \cdots$②

①、②の辺々を加えると

$\begin{align}&\ \ \ \ \ \dfrac{d}{dx} \left( x\sqrt{a^2-x^2}+a^2 \sin^{-1}⁡\dfrac{x}{a} \right) \\ &=\dfrac{a^2-x^2}{\sqrt{a^2-x^2}}+\sqrt{a^2-x^2} \\ &=2\sqrt{a^2-x^2} \ \ \cdots \cdots \text{(答)} \end{align} $

 

(12)

$\begin{align}&\ \ \ \ \ \dfrac{d}{dx} \left( \sin^{-1}⁡\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}} \right) \\ &=\left( \dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}} \right)^{´} \cdot \dfrac{1}{\sqrt{1-\left( \dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}} \right)^2}} \\ &=\dfrac{(1+x^2)-x^2}{(1+x^2)\sqrt{1+x^2}} \sqrt{1+x^2} \\ &=\dfrac{1}{1+x^2} \ \ \cdots \cdots \text{(答)} \end{align}$

 

(13)

$\begin{align}&\ \ \ \ \ \dfrac{d}{dx} \left( 2 \cos^{-1}⁡\sqrt{\dfrac{x+1}{2}} \right) \\ &=2\left(⁡\sqrt{\dfrac{x+1}{2}} \right)^{´} \cdot \dfrac{-1}{\sqrt{1- \left(⁡ \sqrt{\dfrac{x+1}{2}} \right)^2}} \\
&=-2 \cdot \dfrac{1}{⁡4⁡\sqrt{\dfrac{x+1}{2}}} \cdot \dfrac{1}{⁡\sqrt{\dfrac{x+1}{2}}} \\ &=-\dfrac{1}{⁡\sqrt{1-x^2}} \ \ \cdots \cdots \text{(答)} \end{align}$

 

(14)

$y=\sqrt{\dfrac{(x-1)(x-2)}{(x-3)(x-4)}}$ の両辺に自然対数を取ると、

$\log⁡ y=\dfrac{1}{2} \left\{\log⁡(x-1)+\log⁡(x-2)-\log⁡(x-3)-\log⁡(x-4) \right\}$

$\begin{align}&∴\dfrac{dy}{dx} \\ &= y\cdot \dfrac{1}{2} \left( \dfrac{1}{x-1}+\dfrac{1}{x-2}-\dfrac{1}{x-3}-\dfrac{1}{x-4} \right) \\ &=\dfrac{1}{2} \left( \dfrac{1}{x-1}+\dfrac{1}{x-2}-\dfrac{1}{x-3}-\dfrac{1}{x-4} \right) \sqrt{\dfrac{(x-1)(x-2)}{(x-3)(x-4)}} \ \ \cdots \cdots \text{(答)} \end{align}$

※$-\dfrac{2x^2-10x+11}{x-1)(x-2)(x-3)(x-4)} \sqrt{\dfrac{(x-1)(x-2)}{(x-3)(x-4)}}$ でも可

 

(15)

$y=\sqrt[3]{\dfrac{x^2+1}{(x-1)^2}}$ の両辺に自然対数を取ると、

$\log ⁡y=\dfrac{1}{3} \{\log⁡(x^2+1)-2 \log⁡(x-1) \} $

$\begin{align} &∴\dfrac{dy}{dx} \\ &= y \cdot \dfrac{1}{3} \left( \dfrac{2x}{x^2+1}-\dfrac{2}{x-1} \right) \\ &=\sqrt[3]{\dfrac{x^2+1}{(x-1)^2}} \left( \dfrac{2x}{x^2+1}-\dfrac{2}{x-1} \right) \ \ \cdots \cdots \text{(答)} \end{align}$

※$-\left( \dfrac{2(x+1)}{3(x^2+1)(x-1)} \right) \sqrt[3]{\dfrac{x^2+1}{(x-1)^2}} $でも可

 

 


 

復習例題未設定

 


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