微積2.1.2

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問題2.1.2

 次の曲線の与えられた点における接線を求めよ。

(1)$x \log ⁡x$ $(x=1)$

(2)$\tan^{-1}⁡\dfrac{x^2}{2}$ $(x=\sqrt{2})$

 

《ポイント》

$f(x)$の $x=a$ における接線は$$f'(a)(x-a)+f(a)$$で与えられます。ある曲線 $y=f(x)$ の接線を求めるためには1次の導関数が必要となりますが、これは $x=a$ における接線が曲線 $y=f(x)$ の「1次近似」であることに相当します。

 


 

《解答例》

(1)

$f(x)=x \log⁡ x$とする。

$\dfrac{d}{dx} (x \log⁡x )=\log⁡x+1$より、$x=1$における接線は$y=f'(1)(x-1)+f(1)$となる。

$∴ y=x-1 \ \ \cdots \cdots \text{(答)} $

と求められる。

 

(2)

$f(x)=\tan^{-1}⁡\dfrac{x^2}{2}$ とする。

$\dfrac{d}{dx} \left( \tan^{-1}⁡\dfrac{x^2}{2} \right)= \dfrac{x}{1+\left( \dfrac{x^2}{2} \right)^2}$より、$x=\sqrt{2}$ における接線は

$y=f'(\sqrt{2})(x-\sqrt{2})+f(\sqrt{2})$となる。

$∴y=\dfrac{\sqrt{2}}{2} (x-\sqrt{2})+\tan^{-1} ⁡1$

$∴y=\dfrac{\sqrt{2}}{2} x-1+\dfrac{\pi}{4} \ \ \cdots \cdots \text{(答)} $

と求められる。

 


 

復習例題未設定

 


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