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問題2.2.4b

極限を求めよ。

（６）$x^{\frac{1}{x}}$

（７）$x^{\frac{x}{1-x}}$

（８）${\displaystyle \frac{x\log x}{1-x^2}}$

（９）${(1+{\displaystyle \frac{a}{x^2+x}})}^{x^2}$

（１０）${\displaystyle \frac{a^x-b^x}{x}}$

 

《ポイント》

基本的には前ページの《ポイント》を参照してもらえれば良いのですが、問題2.2.4の後半は自然対数と取ってからロピタルの定理を使うパターンが出てきます。

指数部分に$x$の式があるものは$\log$を取らないとほとんど解答できません。

※以下ではロピタルの定理を使用した式変形の等号の上に「$(L)$」という記号を振っていますが、一般的なものではなく、答案を分かりやすくしただけなので答案には書かないで下さいね（答案の中で一言断れば書いてもいいとは思いますが･･･）。

 

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《解答例》

（６）

$y=x^{\frac{1}{x}}$ として両辺に自然対数を取ると、$\log y={\displaystyle \frac{\log x}{x}}$と簡単になるので、${\displaystyle \frac{\log x}{x}}$の極限を調べる。

$\begin{array}{rl}{\displaystyle \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\log y}& ={\displaystyle \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{\log x}{x}}}\\ & \stackrel{(L)}{=}{\displaystyle \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{1}{x}}}\\ & =0\end{array}$

よって、${\displaystyle \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}^{\frac{1}{x}}=1\cdots \cdots \text{(答)}}$

 

（７）
$y=x^{\frac{x}{1-x}}$ として両辺に自然対数を取ると、 $\log y={\displaystyle \frac{x\log x}{1-x}}$と簡単になるので、${\displaystyle \frac{x\log x}{1-x}}$ の極限を調べる。

$\begin{array}{rl}{\displaystyle \underset{x\to 1}{lim}\log y}& ={\displaystyle \underset{x\to 1}{lim}{\displaystyle \frac{x\log x}{1-x}}}\\ & \stackrel{(L)}{=}{\displaystyle \underset{x\to 1}{lim}{\displaystyle \frac{\log x+1}{-1}}=-1}\end{array}$

$\therefore {\displaystyle \underset{x\to 1}{lim}{x}^{\frac{x}{1-x}}={\displaystyle \frac{1}{e}}\cdots \cdots \text{(答)}}$

 

（８）

$\begin{array}{rl}{\displaystyle \underset{x\to 1}{lim}{\displaystyle \frac{x\log x}{1-x^2}}}& \stackrel{(L)}{=}{\displaystyle \underset{x\to 1}{lim}{\displaystyle \frac{\log x+1}{-2x}}}\\ & =-{\displaystyle \frac{1}{2}}\cdots \cdots \text{(答)}\end{array}$

 

（９）

$y={(1+{\displaystyle \frac{a}{x^2+x}})}^{x^2}$ として両辺に自然対数を取ると、

$\begin{array}{rl}\log y& =x^2\log \left({\displaystyle \frac{x^2+x+a}{x^2+x}}\right)\\ & ={\displaystyle \frac{\log (x^2+x+a)}{{\displaystyle \frac{1}{x^2}}}}-{\displaystyle \frac{\log (x^2+x)}{{\displaystyle \frac{1}{x^2}}}}\end{array}$

となる。

$\begin{array}{rl}& {\displaystyle \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\log y}\\ & ={\displaystyle \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\{{\displaystyle \frac{\log (x^2+x+a)}{{\displaystyle \frac{1}{x^2}}}}-{\displaystyle \frac{\log (x^2+x)}{{\displaystyle \frac{1}{x^2}}}}\}}\\ & \stackrel{(L)}{=}{\displaystyle \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\{{\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{2x+1}{x^2+x+a}}}{{\displaystyle \frac{-2}{x^3}}}}-{\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{2x+1}{x^2+x}}}{{\displaystyle \frac{-2}{x^3}}}}\}}\\ & ={\displaystyle \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\{-{\displaystyle \frac{(2x+1)x^3}{2(x^2+x+a)}}+{\displaystyle \frac{(2x+1)x^3)}{2(x^2+x)}}\}}\\ & ={\displaystyle \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\left\{{\displaystyle \frac{a(2x^4+x^3)}{2(x^2+x+a)(x^2+x)}}\right\}}\\ & ={\displaystyle \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\left\{{\displaystyle \frac{a(2+{\displaystyle \frac{1}{x}})}{2(1+{\displaystyle \frac{1}{x}}+{\displaystyle \frac{a}{x^2}})(1+{\displaystyle \frac{1}{x}})}}\right\}}\\ & =a\end{array}$

$\therefore {\displaystyle \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}{(1+{\displaystyle \frac{a}{x^2+x}})}^{x^2}=e^a\cdots \cdots \text{(答)}}$

 

（１０）

$\begin{array}{rl}{\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{a^x-b^x}{x}}}& \stackrel{(L)}{=}{\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{a^x\log a-b^x\log b}{1}}}\\ & =\log a-\log b\cdots \cdots \text{(答)}\end{array}$

 

 

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《コメント》

ロピタルの定理と$\log$を組み合わせればほぼすべての関数の極限を求めることができます。

 

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復習例題未設定

 

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