微積3.2.3

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問題3.2.3

 次の不定積分を求めよ。

(1)$\displaystyle \int \dfrac{1}{1+ \cos ⁡x}dx$

(2)$\displaystyle \int \dfrac{1}{2+ \cos ⁡x} dx$

(3)$\displaystyle \int \dfrac{1+ \cos ⁡x}{(1+ \sin ⁡x )^2} dx$

(4)$\displaystyle \int \dfrac{\cos ⁡x}{4+5 \sin ⁡x} dx$

(5)$\displaystyle \int \dfrac{1}{2+ \tan ⁡x} dx$

(6)$\displaystyle \int \dfrac{1}{1+ \sin ⁡x- \cos ⁡x} dx$

 

《ポイント》

三角関数を含んだ難しい置換積分では$\tan ⁡ \dfrac{x}{2} =u$という置換が有効です。$\tan ⁡ \dfrac{x}{2} =u$と置くと、$dx=\dfrac{2}{1+u^2} du$、$\sin ⁡x=\dfrac{2u}{1+u^2}$、$\cos ⁡x=\dfrac{1-u^2}{1+u^2}$ と表すことができますから、ほとんどの積分は有理式の積分に帰着します。

ただ、迂闊に使用するとかえって複雑になってしまう場合もあるので、まずは簡単な方法で計算できないか試行錯誤しましょう。この置き換えは最終手段と考えておいた方が良いです。

 


 

《解答例》

(1)

$\displaystyle \int \dfrac{1}{1+ \cos ⁡x}dx$

$\tan ⁡ \dfrac{x}{2} =u$と置くと、$dx=\dfrac{2}{1+u^2} du$、$\cos ⁡x=\dfrac{1-u^2}{1+u^2}$であるから、

$\begin{align}& \ \ \ \ \ \displaystyle \int \dfrac{1}{1+ \cos ⁡x} dx \\
&=\displaystyle \int \dfrac{1}{1+\dfrac{1-u^2}{1+u^2}} \cdot \dfrac{2}{1+u^2} du \\
&=\displaystyle \int du \\
&=u+C \\
&= \tan ⁡ \dfrac{x}{2} +C \ \ \cdots \cdots \text{(答)} \end{align}$

〈別解〉

$\begin{align}& \ \ \ \ \ \displaystyle \int \dfrac{1}{1+ \cos ⁡x} dx \\
&=\displaystyle \int \dfrac{1- \cos ⁡x}{1- \cos^{2}x} dx=\displaystyle \int \left(\dfrac{1}{\sin ^{2}x} – \dfrac{\cos ⁡x}{\sin ^{2}x} \right) dx \\
&=-\dfrac{1}{\tan ⁡x} +\dfrac{1}{\sin ⁡}x +C \ \ \cdots \cdots \text{(答)} \end{align}$

(※見かけは異なるが、値は等しい)

 

(2)

$\displaystyle \int \dfrac{1}{2+ \cos ⁡x} dx$

$\tan ⁡ \dfrac{x}{2} =u$と置くと、$dx=\dfrac{2}{1+u^2} du$、$\cos ⁡x=\dfrac{1-u^2}{1+u^2}$であるから、

$\begin{align}& \ \ \ \ \ \displaystyle \int \dfrac{1}{2+ \cos ⁡x} dx \\
&=\displaystyle \int \dfrac{1}{2+\dfrac{1-u^2}{1+u^2}} \cdot \dfrac{2}{1+u^2} du \\
&=\displaystyle \int \dfrac{2}{3+u^2} du \end{align}$

$u=\sqrt 3 \tan ⁡ \theta $と置くと、$du=\dfrac{\sqrt 3}{\cos^{2}⁡ \theta } d \theta $であるから、

$\begin{align}& \ \ \ \ \ \displaystyle \int \dfrac{2}{3+u^2} du \\
&=\displaystyle \int \dfrac{2}{3(1+ \tan ^2 \theta )} \cdot \dfrac{\sqrt 3}{\cos^{2}⁡ \theta } d \theta \\
&=\dfrac{2\sqrt 3}{3} \displaystyle \int d \theta \\
&=\dfrac{2\sqrt 3}{3} \theta +C  \end{align}$

$\theta = \tan ^{-1} \dfrac{u}{\sqrt 3}= \tan ^{-1} \left( \dfrac{\sqrt 3}{3} \tan ⁡ \dfrac{x}{2} \right) $より、

$=\dfrac{2\sqrt 3}{3} \tan ^{-1} \left( \dfrac{\sqrt 3}{3} \tan ⁡\dfrac{x}{2} \right)+C \ \ \cdots \cdots \text{(答)} $

 

(3)

$\displaystyle \int \dfrac{1+ \cos ⁡x}{(1+ \sin ⁡x )^2} dx$

$\tan ⁡ \dfrac{x}{2} =u$と置くと、$dx=\dfrac{2}{1+u^2} du$、$\sin ⁡x=\dfrac{2u}{1+u^2}$、$\cos ⁡x=\dfrac{1-u^2}{1+u^2}$ であるから、

$\begin{align}& \ \ \ \ \ \displaystyle \int \dfrac{1+ \cos ⁡x}{(1+ \sin ⁡x )^2} dx \\
&=\displaystyle \int \dfrac{1+\dfrac{1-u^2}{1+u^2}}{\left( 1+\dfrac{2u}{1+u^2} \right)^2} \cdot \dfrac{2}{1+u^2} du \\
&=4\displaystyle \int \dfrac{1}{(1+u)^4} du \\
&=-\dfrac{4}{3(1+u)^3} +C \\
&=-\dfrac{4}{3\left(1+\tan \dfrac{x}{2}\right)^3} +C \ \ \cdots \cdots \text{(答)} \end{align}$

 

(4)

$\displaystyle \int \dfrac{\cos ⁡x}{4+5 \sin ⁡x} dx$

$\tan ⁡ \dfrac{x}{2} =u$と置くと、$dx=\dfrac{2}{1+u^2} du$、$\sin ⁡x=\dfrac{2u}{1+u^2}$、$\cos ⁡x=\dfrac{1-u^2}{1+u^2}$ であるから、

$\begin{align}& \ \ \ \ \ \displaystyle \int \dfrac{\cos ⁡x}{4+5 \sin ⁡x} dx \\
&=\displaystyle \int \dfrac{\dfrac{1-u^2}{1+u^2}}{4+5 \cdot \dfrac{2u}{1+u^2}} \cdot \dfrac{2}{1+u^2} du \\
&=\displaystyle \int \dfrac{1-u^2}{(1+u^2)(2u+1)(u+2)} du \end{align}$

恒等式$$\dfrac{1-u^2}{(1+u^2)(2u+1)(u+2)}=\dfrac{au+b}{1+u^2}+\dfrac{c}{2u+1}+\dfrac{d}{u+2}$$を解くと、$a=-\dfrac{2}{5}$、$b=0$、$c=\dfrac{2}{5}$、$d=\dfrac{1}{5}$ を得るから、

$\begin{align}& \ \ \ \ \ \displaystyle \int \dfrac{1-u^2}{(1+u^2)(2u+1)(u+2)} du \\
&=\dfrac{1}{5} \displaystyle \int \left(-\dfrac{2u}{1+u^2}+\dfrac{2}{2u+1}+\dfrac{1}{u+2}\right) du \\
&=\dfrac{1}{5} (- \log |1+u^2 |+ \log |2u+1|+ \log |u+2|)+C’ \\
&=\dfrac{1}{5} \log \left| \dfrac{(2u+1)(u+2)}{1+u^2} \right|+C’ \\
&=\dfrac{1}{5} \log \left| \dfrac{2u^2+5u+2}{1+u^2} \right|+C’ \end{align}$

($=\dfrac{1}{5} \log \left|\dfrac{2 \tan ^2⁡ \dfrac{x}{2} +5 \tan ⁡ \dfrac{x}{2} +2}{1+ \tan ^2⁡ \dfrac{x}{2}}\right|+C$としてもよい。)

$\begin{align}&=\dfrac{1}{5} \log \left| \dfrac{5u}{1+u^2}+2 \right|+C’ \\
&=\dfrac{1}{5} \log |\dfrac{1}{2} \left( 5 \cdot \dfrac{2u}{1+u^2}+4 \right)|+C’ \\
&=\dfrac{1}{5} \left( \log |5 \sin ⁡x+4|+ \log \dfrac{1}{2} \right)+C’ \\
&=\dfrac{1}{5} \log |5 \sin ⁡x+4|+\left( C’+ \log \dfrac{1}{2} \right) \\
&=\dfrac{1}{5} \log |5 \sin ⁡x+4|+C \ \ \cdots \cdots \text{(答)} \end{align}$

〈別解〉

$\begin{align}& \ \ \ \ \ \displaystyle \int \dfrac{\cos ⁡x}{4+5 \sin ⁡x} dx \\
&=\dfrac{1}{5} \displaystyle \int \dfrac{(4+5 \sin ⁡x)’}{4+5 \sin ⁡x}dx \\
&=\dfrac{1}{5} \log |4+5 \sin ⁡x |+C \ \ \cdots \cdots \text{(答)} \end{align}$

 

(5)

$\displaystyle \int \dfrac{1}{2+ \tan ⁡x} dx$

$\tan ⁡x=u$と置くと、$\dfrac{1}{\cos^{2}x} dx=du$ 即ち、$dx=\dfrac{1}{1+u^2} du$であるから、

$\displaystyle \int \dfrac{1}{2+ \tan ⁡x} dx=\displaystyle \int \dfrac{1}{2+u} \cdot \dfrac{1}{1+u^2} du$

恒等式$$\dfrac{1}{(2+u)(1+u^2 )}=\dfrac{au+b}{1+u^2}+\dfrac{c}{2+u}$$を解くと、$a=-\dfrac{1}{5}$、$b=\dfrac{2}{5}$、$c=\dfrac{1}{5}$を得るから、

$\begin{align}& \ \ \ \ \ \displaystyle \int \dfrac{1}{(2+u)(1+u^2 )} du \\
&=\dfrac{1}{5} \displaystyle \int \left( -\dfrac{u-2}{1+u^2}+\dfrac{1}{2+u}\right) du \\
&=\displaystyle \int \left(-\dfrac{u}{1+u^2}+\dfrac{2}{1+u^2}+\dfrac{1}{2+u}\right) du \\
&=-\dfrac{1}{10} \log |1+u^2 |+\dfrac{2}{5} \tan ^{-1} u+\dfrac{1}{5} \log |2+u|+C \\
&=\dfrac{1}{5} \log \left| \dfrac{2+u}{\sqrt{1+u^2}} \right|+\dfrac{2}{5} \tan ^{-1} u+C \\
&=\dfrac{1}{5} \log \left| \dfrac{2+ \tan ⁡x}{\sqrt{1+ \tan ^{2x}} } \right|+\dfrac{2}{5} \tan ^{-1} ( \tan ⁡x)+C \\
&=\dfrac{1}{5} \log |(2+ \tan ⁡x) \cos ⁡x |+\dfrac{2}{5} x+C \ \ \cdots \cdots \text{(答)} \end{align}$

 

(6)

$\displaystyle \int \dfrac{1}{1+ \sin ⁡x- \cos ⁡x} dx$

$\tan ⁡ \dfrac{x}{2} =u$と置くと、$dx=\dfrac{2}{1+u^2} du$、$\sin ⁡x=\dfrac{2u}{1+u^2}$、$\cos ⁡x=\dfrac{1-u^2}{1+u^2}$ であるから、

$\begin{align}& \ \ \ \ \ \displaystyle \int \dfrac{1}{1+ \sin ⁡x- \cos ⁡x} dx \\
&=\displaystyle \int \dfrac{1}{1+\dfrac{2u}{1+u^2}-\dfrac{1-u^2}{1+u^2}} \cdot \dfrac{2}{1+u^2} du \\
&=\displaystyle \int \dfrac{u^2+1}{2u^2+2u} \cdot \dfrac{2}{1+u^2} du \\
&=\displaystyle \int \dfrac{1}{u(u+1)} du \\
&=\displaystyle \int \left( \dfrac{1}{u}-\dfrac{1}{u+1} \right) du \\
&= \log |u|- \log |u+1|+C \\
&= \log \left| \dfrac{u}{u+1}\right|+C \\
&= \log \left| \dfrac{\tan ⁡\dfrac{x}{2}}{\tan ⁡ \dfrac{x}{2} +1}\right|+C \ \ \cdots \cdots \text{(答)} \end{align}$

 


 

復習例題未設定

 


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