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問題4.3.5

次の関数に $n=2$ としてマクローリンの定理を適用せよ。

（１）$f(x,y)=e^{x-y}$

（２）$f(x,y)=\cos (x+2y)$

 

《ポイント》

二変数のテーラーの定理は一般の点$(a,b)$について成り立つもので、特に原点$(0,0)$において適用するときは「マクローリンの定理」と言うことがあります。この呼称は級数に展開するときと同様ですね。

 

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《解答例》

（１）$f(x,y)=e^{x-y}$

$f_x(x,y)=e^{x-y}$、$f_y(x,y)=-e^{x-y}$、$f_{xx}(x,y)=e^{x-y}$、$f_{xy}(x,y)=-e^{x-y}$、$f_{yy}(x,y)=e^{x-y}$ より、$$\begin{array}{rl}& f(x,y)\\ & =f(0,0)+h{f}_x(0,0)+k{f}_y(0,0)\\ & +{\displaystyle \frac{1}{2}}(h^2{f}_{xx}(\theta h,\theta k)+2hk{f}_{xy}(\theta h,\theta k)+k^2{f}_{yy}(\theta h,\theta k))\\ & =1+h-k+{\displaystyle \frac{1}{2}}(h^2-2hk+k^2)e^{\theta (h-k)}\\ & =1+h-k+{\displaystyle \frac{1}{2}}(h-k{)}^2{e}^{\theta (h-k)}(0<\theta <1)\end{array}$$となる。

 

（２）$f(x,y)=\cos (x+2y)$

$f_x(x,y)=-\sin (x+2y)$、$f_y(x,y)=-2\sin (x+2y)$、$f_{xx}(x,y)=-\cos (x+2y)$、$f_{xy}(x,y)=-2\cos (x+2y)$、$f_{yy}(x,y)=-4\cos (x+2y)$ より、$$\begin{array}{rl}& f(x,y)\\ & =f(0,0)+h{f}_x(0,0)+k{f}_y(0,0)\\ & +{\displaystyle \frac{1}{2}}(h^2{f}_{xx}(\theta h,\theta k)+4hk{f}_{xy}(\theta h,\theta k)+4k^2{f}_{yy}(\theta h,\theta k))\\ & =1+{\displaystyle \frac{1}{2}}(-h^2-4hk-4k^2)\cos (\theta h+2\theta k)\\ & =1-{\displaystyle \frac{1}{2}}(h+2k{)}^2\cos (\theta (h+2k))(0<\theta <1)\end{array}$$となる。

 

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復習例題は設定していません。

 

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