培風館『入門微分積分』第5章・問題5.4.2の解答解説です。問題文、解法の要点、途中式を含む解答例を整理しています。
問題5.4.2
$y=f(x)$（$a \leqq x \leqq b$）を$x$軸の周りに回転した図形の内部$V$の体積は$$v(V)=\pi\int^{b}_{a}{f(x)}^2dx$$であることを示せ。
解法の要点
ガバリエリの原理を利用します。
解答例
２つの平面 $x=a$、$x=b$（$a<b$）の間に存在する立体図形$K$を、点$(x,0,0)$を通る$x$軸に垂直な平面で切ったときの断面積が$x$の連続関数$S(x)$で与えられるとき、立体図形$K$の体積$v(K)$はガバリエリの原理より$$v(V)=\int^{b}_{a}S(x)dx$$で与えられる。$y=f(x)$（$a \leqq x \leqq b$）を$x$軸の周りに回転した図形を、点$(x,0,0)$を通る$x$軸に垂直な平面で切ったときの断面積$S(x)$は$$S(x)=\pi{f(x)}^2$$であるから、$V$の体積$v(V)$は$$v(V)=\pi\int^{b}_{a}{f(x)}^2dx$$である。