復習例題1.1.2a

次の数列$\{a_n\}$は有界で単調増加であることを示し、極限を求めよ。

　（１）$a_1=a、a_{n+1}={\displaystyle \frac{{a_n}^2+2}{3}}$

　　　　ただし$1<a<2$である。

 

《ポイント》

問題（１）は平方根型の漸化式でしたが、これは放物線型の漸化式です。とは言ってもやることは変わりないので同様の手法で解答してください。ここでは隣接２項間の差に注目する解法を紹介します。

 

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《解答例》

$a_1=a、a_{n+1}={\displaystyle \frac{{a_n}^2+2}{3}}$より、$a_2={\displaystyle \frac{a^2+2}{3}}$である。$1<a<2$より、$${\displaystyle \frac{1^2+2}{3}}=1<a_2={\displaystyle \frac{a^2+2}{3}}<{\displaystyle \frac{2^2+2}{3}}=2$$となるから、漸化式から帰納的に$1<a_n<2$が言える。故に数列$\{a_n\}$は有界である。

また、$a_{n+1}-a_n={\displaystyle \frac{{a_n}^2+2}{3}}-a_n={\displaystyle \frac{(a_n-2)(a_n-1)}{3}}$となるが、$1<a_n<2$より、$(a_n-2)(a_n-1)<0$であるから$a_{n+1}-a_n<0$、つまり故に数列$\{a_n\}$は単調減少である。

以上より、数列$\{a_n\}$は有界な単調減少数列であるから収束する。

数列$\{a_n\}$の極限値を$\alpha$として $\alpha ={\displaystyle \frac{{\alpha }^2+2}{3}}$ を解くと、$\alpha =2$あるいは$1$を得るが、数列$\{a_n\}$は初項が$1<a_1=a<2$を満たす単調減少数列であるから、極限値は

$$1\cdots \cdots \text{(答)}$$

と求められる。

 

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