問題1.1.3
$a>0$ のとき、$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a}=1$を示せ。
《ポイント》
$\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}\to a^0=1$は直感的に理解できますが、本問はこれを厳密に証明せよ、というものです。
ただし、厳密さの尺度は教える先生によって様々なので、ここでは数列を利用した簡単な証明をします。
《解答例》
$a=1$のときは自明。
まず$a>1$として$\sqrt[n]{a}-1=b_n$と置き、$\displaystyle \lim_{n \to \infty} b_n=0$を示す。
$\sqrt[n]{a}=1+b_n$ より、両辺を$n$乗すると$a=(1+b_n )^n$となる。
右辺を二項展開すれば
$$a=(1+b_n )^n=1+n b_n+⋯+b_n^n>1+n b_n$$
と評価でき、$\dfrac{a-1}{n}>b_n \ (>0)$となるから、$\displaystyle \lim_{n \to \infty} b_n=0$である。
よって$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a}=1$である。
$a<1$のとき $\dfrac{1}{a}=t$と置けば、$t>1$で$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{t}=1$であるから、$$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\dfrac{1}{a}}=\lim_{n \to \infty} \dfrac{1}{\sqrt[n]{a}}=1$$より、$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a}=1$である。
以上より、$a>0$において$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a}=1$が示された。
《コメント》
$\epsilon$-$\delta$論法を利用すれば厳密に証明できますが、ここでは上記のような証明で十分だと思われます。指数関数の連続性を認めるのであれば対数を用いた以下のような別解も考えられます。
《別解》
$\log \sqrt[n]{a}=\dfrac{a}{n} \to 0 \ (n \to \infty)$より、$a>0$において$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a}=1$が示された。
随分あっさりと片付いてしまいますが、指数関数の連続性が保証されて初めて記述できるので厳密とは言えません。
復習例題1.1.3
$a>0$ のとき、$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \dfrac{a}{n} \right)^n=e^a$を示せ。