復習例題1.2.3
次の関数は$(-\infty ,\infty )$で連続かどうか答えよ。
（１）$\dfrac{\sin x}{\sqrt{x^2+1}}$
（２）$\cos{\dfrac{\sin x}{x}}$
《ポイント》
合成関数の連続性を利用するだけです。
《解答例》
（１）
$\sin x$、$\sqrt{x^2+1}$は$(-\infty ,\infty )$で連続であり、$\sqrt{x^2+1}$は正だから、その商$\dfrac{\sin x}{\sqrt{x^2+1}}$も$(-\infty ,\infty )$で連続である。
（２）
$\sin x$、$x$は$(-\infty ,\infty )$で連続であり、$\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x}=1$であるから、$\dfrac{\sin x}{x}$は$(-\infty ,\infty )$で連続である。$\cos{x}$は$(-\infty ,\infty )$で連続であるから、合成関数$\cos{\dfrac{\sin x}{x}}$も$(-\infty ,\infty )$で連続である。
《コメント》
特に解説は不要だと思います。絶対値や分数を含むときは不連続になる可能性があるので注意して連続性を調べましょう。