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問題1.3.4

双曲線関数について、以下の関係式が成り立つことを示せ。

（１）${\cosh }^{2}x-{\sinh }^{2}x=1$

（２）$\sinh (x\pm y)=\sinh x\cosh y\pm \cosh x\sinh y$

（３）$\cosh (x\pm y)=\cosh x\cosh y\pm \sinh x\sinh y$

 

《ポイント》

$x=\cos \theta$、$y=\sin \theta$というパラメータ表示された点$(x,y)$は円$x^2+y^2=1$を描きますが、全実数$t$を用いて$x=\cosh t$、$y=\sinh t$とパラメータ表示された点$(x,y)$は双曲線$x^2-y^2=1$の右側（$x>0$の部分）を描きます。これが双曲線関数という名前の由来です（これを知っていれば多少は忘れにくくなるはず）。このことを確認するのが（１）です。

数Ⅲの双曲線の積分などでは$x={\displaystyle \frac{e^t+e^{-t}}{2}}$といった置換が有効なのですが、これは$\cosh t$に他なりません。

問題を解くにあたって、$\sinh x={\displaystyle \frac{e^x-e^{-x}}{2}}$、$\cosh x={\displaystyle \frac{e^x+e^{-x}}{2}}$という定義をまず覚えてしまいましょう。

 

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《解答例》

（１）

$\begin{array}{rl}{\cosh }^{2}x-{\sinh }^{2}x& ={\left({\displaystyle \frac{e^x+e^{-x}}{2}}\right)}^2{\left({\displaystyle \frac{e^x-e^{-x}}{2}}\right)}^2\\ & ={\displaystyle \frac{e^{2}x+2+e^{-2x}}{4}}-{\displaystyle \frac{e^{2}x-2+e^{-2x}}{4}}\\ & =1\end{array}$

$\therefore {\cosh }^{2}x-{\sinh }^{2}x=1$

 

（２）

$\sinh (x\pm y)={\displaystyle \frac{e^{x\pm y}-e^{-x\mp y}}{2}}$　である。また、

$\begin{array}{rl}& \sinh x\cosh y\pm \cosh x\sinh y\\ & ={\displaystyle \frac{e^x-e^{-x}}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{e^y+e^{-y}}{2}}\pm {\displaystyle \frac{e^x+e^{-x}}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{e^y-e^{-y}}{2}}\\ & ={\displaystyle \frac{e^{x+y}-e^{-x+y}+e^{x–y}-e^{-x–y}}{4}}\pm {\displaystyle \frac{e^{x+y}+e^{-x+y}-e^{x–y}-e^{-x–y}}{4}}\\ & ={\displaystyle \frac{e^{x\pm y}-e^{-x\mp y}}{2}}\end{array}$

であるから、$\sinh (x\pm y)=\sinh x\cosh y\pm \cosh x\sinh y$が成立する。

 

（３）

$\cosh (x\pm y)={\displaystyle \frac{e^{x\pm y}+e^{-x\mp y}}{2}}$　である。また、

$\begin{array}{rl}& \cosh x\cosh y\pm \sinh x\sinh y\\ & ={\displaystyle \frac{e^x+e^{-x}}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{e^y+e^{-y}}{2}}\pm {\displaystyle \frac{e^x-e^{-x}}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{e^y-e^{-y}}{2}}\\ & ={\displaystyle \frac{e^{x+y}+e^{-x+y}+e^{x–y}+e^{-x–y}}{4}}\pm {\displaystyle \frac{e^{x+y}-e^{-x+y}-e^{x–y}+e^{-x–y}}{4}}\\ & ={\displaystyle \frac{e^{x\pm y}+e^{-x\mp y}}{2}}\end{array}$

であるから、$\cosh (x\pm y)=\cosh x\cosh y\pm \sinh x\sinh y$が成立する。

 

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《コメント》

慎重に計算すればOKです。目的の式がはっきりしているので式変形にも困らないでしょう。

 

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復習例題1.3.4

曲線 $y=\cosh x$、曲線 $y=\sinh x$、$y$軸および直線 $x=1$ で囲まれた図形を$x$軸のまわりに１回転してできる立体の体積を求めよ。

（※積分は範囲外ですが、（１）で示した性質が利用できるので掲載します）

＞＞解答・解説

 

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