復習例題1.3.4
曲線 $y=\cosh x$、曲線 $y=\sinh x$、$y$ 軸および直線 $x=1$ で囲まれた図形を$x$軸のまわりに１回転してできる立体の体積を求めよ。
《ポイント》
（１）で示した性質の出番です。
《解答例》
回転体の体積を$V$、$y_1=\cosh x$、$y_2=\sinh x$として、
$\begin{align} V &=\displaystyle \int^1_0 \pi (y_{1}^{2}-y_{2}^{2})dx \\ &=\displaystyle \int^1_0 \pi (\cosh^{2} x-\sinh^{2} x )dx \\ &= \displaystyle \pi \int^1_0 dx \\ &=\pi \ \ \cdots \cdots (\text{答}) \end{align} $
となる。
なお、$\sinh x =\dfrac{e^x-e^{-x}}{2}$、$\cosh x =\dfrac{e^x+e^{-x}}{2}$であるから常に$y_1=\cosh x>y_2=\sinh x$である。
《コメント》
双曲線関数には他にも面白い性質が沢山あります。