トップへ戻る　次の問題へ

問題1.4.1

次の値を求めよ。数列$\{a_n\}$、$\{b_n\}$が各々$\alpha$、$\beta$に収束するならば、数列$\{a_n+b_n\}$は$\alpha +\beta$に収束することを$\epsilon$論法で示せ。

 

《ポイント》

本問は珍しく教科書にもちゃんと解答が書いてあります。

$\epsilon$（イプシロン）論法の根拠は、

「$N$より大きい自然数$n$について、$|a_n-\alpha |<\epsilon$を満たすようなある正の実数$\epsilon$が存在する」

を満たすような自然数$N$が存在するとき$a_n$は$\alpha$に収束する、つまり、${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=\alpha }$と表せる、というものでした。

直感的な理解としては、$n$を非常に大きくすれば、ごく小さな$\epsilon$によって$|a_n-\alpha |<\epsilon$を成立させることで$a_n$と$\alpha$の間隔をどんどん狭められる、という程度で良いでしょう。教科書の例題の解答例を見てもよく分からない人は、まず数式を日本語で解読する作業から始めましょう。

$\epsilon$論法では絶対不等式の一つである「三角不等式」がよく用いられます。三角不等式とは次のようなものです。

「$|A+B|<|A|+|B|$（$A、B$は実数）」

三角不等式は絶対値記号との相性が良いので、$\epsilon$論法に頻繁に登場します。$\epsilon$論法は数列だけでなく関数にも適用できます。例えば$${\displaystyle \underset{x\to \alpha }{lim}f(x)=f(\alpha )}$$が成り立つことを証明するためには、$N$の代わりに$|x-\alpha |<\delta$（デルタ）ならば$|f(x)-f(\alpha )|<\epsilon$となるような実数$\delta$の存在を示せば良いことになります。$\epsilon$論法は関数の連続性を厳密に証明するときにも必要となります。

 

---

 

《解答例》

${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=\alpha }$であることから、$n>N_1$ならば$|a_n-\alpha |<{\epsilon }_1$、が成り立つようなある自然数$N_1$が存在している。また${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{b}_n=\beta }$であることから、$n>N_2$ならば$|b_n-\beta |<{\epsilon }_2$が成り立つようなある自然数$N_2$が存在している。

ここで$A=a_n-\alpha$、$B=b_n-\beta$として三角不等式を用いると、

$$|(a_n-\alpha )+(b_n-\beta )|<|a_n-\alpha |+|b_n-\beta |$$

$$\therefore |(a_n+b_n)-(\alpha +\beta )|<|a_n-\alpha |+|b_n-\beta |<{\epsilon }_1+{\epsilon }_2$$

が成り立つ。ここで${\epsilon }_1+{\epsilon }_2=\epsilon$とおけば、

$n>N$ならば$|(a_n+b_n)-(\alpha +\beta )|<\epsilon$

が成り立つようなある自然数$N$が存在していることが言える。ただし$N\geqq N_1$かつ$N\geqq N_2$である。

以上より、数列$\{a_n+b_n\}$は$\alpha +\beta$に収束する。

 

---

 

《コメント》

やっていることは教科書の模範解答と同じですが、別に帳尻を合わせようとして${\displaystyle \frac{\epsilon }{2}}$を唐突に登場させる必要は無いということを示すために敢えて${\epsilon }_1$、${\epsilon }_2$と置きました。

文字は何でも良いということですね。

 

---

 

復習例題は設定していません。

 

---

トップへ戻る　次の問題へ