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問題2.1.1a

　次の関数の導関数を求めよ。

（１）$(x^2+1)^5 (x^3-2)^3$

（２）$\log⁡(\log⁡x)$

（３）$2^x$

（４）$x^3 (x^2+1)^{\frac{3}{2}} $

（５）$e^{x^x}$

（６）$(\sin⁡x )^{\cos⁡x} $

（７）$\sin^{-1}⁡(x^3+1)$

（８）$\tan^{-1} \dfrac{1-x^2}{1+x^2}$

（９）$\sqrt{1+2 \log⁡x }$

 

《ポイント》

計算問題です。全て微分可能として計算します。

 

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《解答例》

（１）

$\begin{align}&\ \ \ \ \ \dfrac{d}{dx} {(x^2+1)^5 (x^3-2)^3 }\\ &=(x^3-2)^2 (x^2+1)^4 \left\{9x^2 (x^2+1)+10x(x^3-2)\right\} \\ &=x(x^3-2)^2 (x^2+1)^4 (19x^3+9x-20) \ \ \cdots \cdots \text{(答)} \end{align} $

 

（２）

$\begin{align} \dfrac{d}{dx} {\log⁡(\log⁡x)} &=(\log⁡x )’ (\dfrac{1}{\log⁡x} ) \\ &=\dfrac{1}{x \log⁡x} \ \ \cdots \cdots \text{(答)} \end{align} $

 

（３）

$\dfrac{d}{dx} (2^x )=2^x \log⁡2 \ \ \cdots \cdots \text{(答)} $

※$y=2^x$と置くと、$\log⁡y=x \log⁡2$である。

$\dfrac{d}{dx} (\log⁡y )=\dfrac{dy}{dx}\cdot \dfrac{d}{dy}(\log⁡y )=y’ \cdot \dfrac{1}{y}$より、$y’ \cdot \dfrac{1}{y}=\dfrac{d}{dx} (x \log⁡2 )$

$∴y’=y \log⁡2=2^x \log⁡2$

 

（４）

$\begin{align}&\ \ \ \ \ \dfrac{d}{dx} {x^3 (x^2+1)^{\frac{3}{2}} } \\
&=3x^2 (x^2+1)^{\frac{3}{2}}+\dfrac{3}{2}\cdot 2x \cdot x^3 (x^2+1)^{\frac{1}{2}} \\
&=3x^2 \sqrt{x^2+1} (2x^2+1) \ \ \cdots \cdots \text{(答)} \end{align}$

 

（５）

$y=x^x$の両辺に自然対数を取ると、$\log⁡y=x \log⁡x$となる。

よって $\dfrac{dy}{dx}=x^x (\log⁡x+1)$ である。

また$u=e^{x^x}$と置くと$\log⁡u=x^x=y$であるから、$\dfrac{du}{dy}=u$である。

$∴\dfrac{du}{dx}=\dfrac{du}{dy} \cdot \dfrac{dy}{dx}=e^{x^x} x^x (\log⁡x+1) \ \ \cdots \cdots \text{(答)}$

 

（６）

$y=(\sin⁡x )^{\cos⁡x}$ の両辺に自然対数を取ると、$\log⁡y=(\cos⁡x ) \log⁡ (\sin⁡x )$となる。

$\begin{align}&∴\dfrac{dy}{dx} \\ &= y\cdot \left\{ -(\sin⁡x ) \log⁡ (\sin⁡x )+\dfrac{\cos⁡^2 x }{\sin⁡x} \right\} \\ &=(\sin⁡x )^{\cos⁡x-1} \{-\sin^2⁡x \log⁡(\sin⁡x )+\cos^2⁡x \} \ \ \cdots \cdots \text{(答)} \end{align}$

 

（７）（分母の根号内は展開しても良いでしょう）

$\dfrac{d}{dx} \{\sin^{-1} ⁡(x^3+1) \}=\dfrac{3x^2}{\sqrt{1-(x^3+1)^2 }}\ \ \cdots \cdots \text{(答)}$

 

（８）
$\begin{align}& \ \ \ \ \ \dfrac{d}{dx} \left\{ \tan^{-1}⁡ \dfrac{1-x^2}{1+x^2} \right\} \\ &=\left( \dfrac{1-x^2}{1+x^2} \right)^{´} \cdot \dfrac{1}{1+\left( \dfrac{1-x^2}{1+x^2} \right)^2 } \\ &=-\dfrac{4x}{(1+x^2)^2} \cdot \dfrac{(x^2+1)^2}{2x^4+2} \\ &=-\dfrac{2x}{x^4+1}\ \ \cdots \cdots \text{(答)} \end{align}$

 

（９）

$\begin{align}& \ \ \ \ \ \dfrac{d}{dx} \left\{ \sqrt{1+2 \log⁡x }\right\} \\ &=\dfrac{2}{x}\cdot \dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{\sqrt{1+2 \log⁡x} } \\ &= \dfrac{1}{x\sqrt{1+2 \log⁡x} }\ \ \cdots \cdots \text{(答)} \end{align}$

 

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復習例題未設定

 

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