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問題2.1.3

$y=\sinh x$は$(-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })$で逆関数を持つことを示せ。

また、$y=\sinh x$の逆関数を$y={\sinh }^{-1}x$と表すとき、${\displaystyle \frac{d}{dx}}{\sinh }^{-1}x$を求めよ。

 

《ポイント》

$y=f(x)$の逆関数は$x=f(y)$により与えられますが、$x=f(y)$が「関数」として定義可能でなければ$y=f(x)$の逆関数は存在しません。ここで「関数」であるとは、「$x$の値に対して$y$の値がただ一つ定まる（$y$の値に対して$x$の値がただ一つ定まる）」という条件を満たすことを指しています。多価関数の場合は$x$の値に対して$y$の値が複数存在するため、逆関数が定義できません。

 

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《解答例》

$f(x)=\sinh x={\displaystyle \frac{e^x-e^{-x}}{2}}$ とする。

$y={\displaystyle \frac{e^x-e^{-x}}{2}}$ において$e^x=t(>0)$と置くと、

$\therefore y={\displaystyle \frac{t-{\displaystyle \frac{1}{t}}}{2}}\therefore e^x=y+\sqrt{(}{y}^2+1)$

$\therefore x=\log (y+\sqrt{y^2+1})$

ここで、曲線 $y={\displaystyle \frac{e^x-e^{-x}}{2}}$ は $y^{\prime }={\displaystyle \frac{e^x+e^{-x}}{2}}>0$ より、すべての実数について単調増加であるから、$y$の値に対して$x$の値がただ一つ定まる。故に$y=\log (x+\sqrt{x^2+1})$について、$x$の値に対して$y$の値がただ一つ定まる。

したがって$y=\sinh x$は$(-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })$において逆関数$$y=\log (x+\sqrt{x^2+1})$$を持つ。また、導関数は

$\begin{array}{rl}& {\displaystyle \frac{d}{dx}}\{\log (x+\sqrt{x^2+1})\}\\ & =(1+{\displaystyle \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}})\cdot {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x^2+1}+x}}\\ & ={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}}\cdots \cdots \text{(答)}\end{array}$

である。

 

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復習例題未設定

 

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