微積2.1.4

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問題2.1.4

次の関数$f(x)$の導関数を求めよ。また、それが$(-\infty , \infty)$で連続であるかどうか調べよ。

(1)$\displaystyle f(x)=\begin{cases} x^2 \sin \dfrac{1}{x} & (x \ne 0) \\ \ \ \ \ \ \ 0 & (x=0) \end{cases} $

(2)$\displaystyle f(x)=\begin{cases} x^3 \sin \dfrac{1}{x} & (x \ne 0) \\ \ \ \ \ \ \ 0 & (x=0) \end{cases} $

 

《ポイント》

$y=f(x)$の逆関数は$x=f(y)$により与えられますが、$x=f(y)$が「関数」として定義可能でなければ$y=f(x)$の逆関数は存在しません。

 


 

《解答例》

(1)

$\displaystyle f(x)=\begin{cases} x^2 \sin \dfrac{1}{x} & (x \ne 0) \\ \ \ \ \ \ \ 0 & (x=0) \end{cases} $ より、$x\ne0$において

$$f'(x)=2x \sin \dfrac{1}{x}-\cos \dfrac{1}{x} \ \ \cdots \cdots \text{(答)}$$

となる。$2x\sin \dfrac{1}{x}-\cos \dfrac{1}{x}$ は$x\ne0$で連続である(注1)から$x=0$における連続性を調べればよい。

$\displaystyle \lim_{x \to 0}⁡ \left| 2x\sin \dfrac{1}{x} \right| < \displaystyle \lim_{x \to 0}⁡ |2x| \to 0$であるが、$\cos \dfrac{1}{x}$ は$x \to 0$とすると振動するから $\displaystyle \lim_{x \to 0}⁡|\cos \dfrac{1}{x}|$ は存在しない。

故に$f'(x)$は$x=0$において不連続である。

したがって$f(x)$の導関数は$(-\infty , \infty)$で連続でない。

(注1)$x、 \dfrac{1}{x} 、\sin x、\cos x$は連続関数だから積や合成関数
も連続関数である。

 

(2)

$\displaystyle f(x)=\begin{cases} x^3 \sin \dfrac{1}{x} & (x \ne 0) \\ \ \ \ \ \ \ 0 & (x=0) \end{cases} $ より、$x\ne0$において

$$f'(x)=3x^2 \sin \dfrac{1}{x}-x\cos \dfrac{1}{x} \ \ \cdots \cdots \text{(答)}$$

となる。$3x^2 \sin \dfrac{1}{x}-x\cos \dfrac{1}{x}$ は$x\ne0$で連続である(注2)から$x=0$における連続性を調べればよい。

$\displaystyle \lim_{x \to 0} \left|3x^2 \sin \dfrac{1}{x}+\left( -x\cos \dfrac{1}{x} \right) \right| < \displaystyle \lim_{x \to 0}⁡|3x^2 |+\displaystyle \lim_{x \to 0} ⁡|x| \to 0$
であるから、$f'(x)$は$x=0$において連続である。

したがって$f(x)$の導関数は$(-\infty , \infty)$で連続である。

(注2)$x、 \dfrac{1}{x} 、\sin x、\cos x$は連続関数だから積や合成関数
も連続関数である。

 


 

復習例題未設定

 


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