問題2.3.3
$z=g(y)$、$y=f(x)$で、$f、g$がともに２回微分可能ならば、$z$は$x$に関して２回微分可能であり、次の式が成り立つことを示せ。
$$\dfrac{d^2 z}{dx^2}=\dfrac{d^2 z}{dy^2} \left( \dfrac{dy}{dx} \right)^2+\dfrac{dz}{dy} \cdot \dfrac{d^2 y}{dx^2}$$
《ポイント》
$f、g$の表記も交えながら見通し良く計算することが大切です。
《解答例》
$z=g(y)$、$y=f(x)$である。
$\dfrac{dy}{dx}=f'(x)$、 $\dfrac{dz}{dy}=g'(y)$、 $\dfrac{dz}{dx}=\dfrac{dy}{dx}\cdot \dfrac{dz}{dy}=f'(x)\cdot g'(y)$、$\dfrac{d^2 y}{dx^2}=f^{\prime\prime}(x)$、 $\dfrac{d^2 z}{dy^2}=g^{\prime\prime}(y)$に注意する。
まず与等式の左辺について、
$\begin{align} & \ \ \ \ \ \dfrac{d^2 z}{dx^2} \\
&=\dfrac{d}{dx}\cdot \dfrac{dz}{dx} \\
&=\dfrac{d}{dx} {f'(x) \cdot g'(f(x))} \\
&=f^{\prime\prime}(x)\cdot g'(y)+f'(x)\cdot f'(x)\cdot g^{\prime\prime}(f(x)) \ \ (∵\text{積の微分}) \\
&=f^{\prime\prime}(x) g'(y)+{f'(x)}^2 g^{\prime\prime}(f(x)) \end{align}$
であり、与等式の右辺について、
$\begin{align} & \ \ \ \ \ \dfrac{d^2 z}{dy^2} \left( \dfrac{dy}{dx} \right)^2+\dfrac{dz}{dy} \cdot \dfrac{d^2 y}{dx^2} \\
&=g^{\prime\prime}(f(x))\{f’ (x)\}^2+f^{\prime\prime}(x) g'(y) \end{align}$
よって（左辺）＝（右辺）が成立するから、等式$$\dfrac{d^2 z}{dx^2}=\dfrac{d^2 z}{dy^2} \left( \dfrac{dy}{dx} \right)^2+\dfrac{dz}{dy} \cdot \dfrac{d^2 y}{dx^2}$$の成立が示された。
この問題に復習例題は設定していません。