問題2.4.1
次の関数の有限マクローリン展開を$n=4$のときに書き表せ。
（１）$y=\sin x$
（２）$y=\sqrt{1+x}$
（３）$y=x\sin x$
（４）$y=\dfrac{x}{1+x}$
《ポイント》
$0<\theta<1$を満たす実数$\theta$を用いて
$$f(x)=\sum_{k=0}^{n-1} \dfrac{f^{(k)}(0)}{k! x^k}+\dfrac{f^{(n)}(\theta x)}{n!} x^n$$と表すことを「有限マクローリン展開」と呼びます。本問では第4項まで求めます。テイラー展開については「『テイラー展開』の分かりやすい解説」のページも参考にして下さい。
《解答例》
（１）
$f(x)=\sin x$ とすると、$\sin \left( x+\dfrac{n \pi}{2} \right)$より、$f^{(n)} (0)=\sin \dfrac{n\pi}{2}$ となるから、
$\begin{align} \sin x &=\sum_{k=0}^{4-1} \dfrac{f^{(k)} (0)}{k!}+\dfrac{f^{(4)} (\theta x)}{4!} x^4 \\
&=x-\dfrac{1}{6} x^3+\dfrac{\sin(\theta x)}{24} x^4 \cdots \cdots \text{(答)}\end{align}$
（２）
$f(x)=\sqrt{1+x}=(1+x)^{\frac{1}{2}}$ とすると、
$$f^{(n)} (x)=\left(\dfrac{1}{2}-n+1\right) \left(\dfrac{1}{2}-n+2\right) \cdot \cdots \cdot \dfrac{1}{2} (1+x)^{\frac{1}{2}-n}$$より、$$f^{(n)} (0)=\left(\dfrac{1}{2}-n+1\right) \left(\dfrac{1}{2}-n+2\right) \cdot \cdots \cdot \dfrac{1}{2}$$ となるから、
$\begin{align}& \ \ \ \ \ \sqrt{1+x}=\sum_{k=0}^{4-1} \dfrac{f^{(k)} (0)}{k!}+\dfrac{f^{(4)} (\theta x)}{4!} x^4 \\
&=1+\dfrac{1}{2} x-\dfrac{1}{8} x^2+\dfrac{1}{16} x^3-\dfrac{5(1+x)^{-\frac{7}{2}}}{128} x^4 \cdots \cdots \text{(答)} \end{align}$
（３）
$f(x)=x \sin x$ とすると、$$f^{(n)} (x)=x \sin \left( x+\dfrac{n \pi}{2} \right) +\sin \left( x+\dfrac{(n-1)\pi }{2} \right)$$より$$f^{(n)} (0)=n \sin \dfrac{(n-1)\pi}{2}$$ となるから、
$\begin{align} x \sin x
&=\displaystyle \sum_{k=0}^{4-1} \dfrac{f^{(k)} (0)}{k!}+\dfrac{f^{(4)} (\theta x)}{4!} x^4 \\
&=x^2+\dfrac{(\theta x) \sin(\theta x+2\pi)+4 \sin \left( \theta x+\dfrac{3\pi}{2} \right)}{24} x^4 \\
&=x^2+\dfrac{(\theta x) \sin(\theta x)-4 \cos(\theta x)}{24} x^4 \cdots \cdots \text{(答)}\end{align}$
（４）
$f(x)=\dfrac{x}{1+x}=x(1+x)^{-1}$ とすると、
$$\begin{align} f^{(n)} (x)=&(-1)^{n-1} \cdot n! \cdot x(1+x)^{-n-1} \\ &+(-1)^{n-2} \cdot {}_n \mathrm{C}_1 \cdot (n-1)! \cdot (1+x)^{-n} \end{align}$$
より$$f^{(n)} (0)=(-1)^{n-2} \cdot {}_n \mathrm{C}_1 \cdot (n-1)!=(-1)^n \cdot n$$となるから、
$\begin{align} & \ \ \ \ \ \dfrac{x}{1+x} \\
&=\sum_{k=0}^{4-1} \dfrac{f^{(k)} (0)}{k!}+\dfrac{f^{(4)} (\theta x)}{4!} x^4 \\
&=x-x^2+x^3\\ & \ \ \ \ \ -\dfrac{(-1)^{4-1} \cdot 4! \cdot (\theta x) (1+\theta x)^{-4-1}+(-1)^{4-2} \cdot {}_4 \mathrm{C}_1 \cdot (4-1)! \cdot (1+\theta x)^{-4}}{24} x^4 \\
&=x-x^2+x^3 \\ & \ \ \ \ \ -\dfrac{4!(1+\theta x)^{-5} \{-(\theta x)+(1+\theta x)\}}{24} x^4 \\
&=x-x^2+x^3-(1+\theta x)^{-5} x^4 \cdots \cdots \text{(答)}\end{align}$
復習例題未設定