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問題3.1.4

　$f(x)$が連続であるとき、次の等式を示せ。

（１）${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}f(\sin x)dx={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}f(\cos x)dx}$

（２）${\displaystyle {\int }_0^{\pi }f(\sin x)dx=2{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}f(\sin x)dx}$

 

《ポイント》

三角関数の合成関数の積分では積分範囲について操作すれば、補角の関係から$\sin$と$\cos$を行き来できます。

 

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《解答例》

（１）

まず$${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}f(\sin x)dx={\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}f(\cos ({\displaystyle \frac{\pi }{2}}-x))dx}}$$である。

${\displaystyle \frac{\pi }{2}}-x=t$ と置くと、$-dx=dt$、
$x:0\to {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$、$t:{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\to 0$ であるから、

$\begin{array}{rl}& {\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}f(\cos ({\displaystyle \frac{\pi }{2}}-x))dx}\\ & ={\displaystyle {\int }_{\frac{\pi }{2}}^{0}f(\cos t)(-1)dt}\\ & ={\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}f(\cos x)dx}\end{array}$

よって示された。

□

 

（２）

左辺について$$\begin{array}{rl}& {\displaystyle {\int }_0^{\pi }f(\sin x)dx={\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}f(\sin x)dx+{\displaystyle {\int }_{\frac{\pi }{2}}^{\pi }f(\sin x)dx}}}\end{array}$$である。

$\pi -x=t$と置くと、$-dx=dt$、
$x:{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\to \pi$、$t:{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\to 0$であるから、

$\begin{array}{rl}& {\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}f(\sin x)dx+{\displaystyle {\int }_{\frac{\pi }{2}}^{\pi }f(\sin x)dx}}\\ & ={\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}f(\sin x)dx+{\displaystyle {\int }_{\frac{\pi }{2}}^{0}f(\sin t)(-1)dt}}\\ & ={\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}f(\sin x)dx+{\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}f(\sin t)dt}}\\ & =2{\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}f(\sin x)dx}\end{array}$

よって示された。

□

 

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復習例題未設定

 

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