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問題3.1.5

閉区間$[a,b]$で連続な関数$f(x)$が$f(x)\geqq 0$であり、かつ恒等的に$0$でないならば$${\displaystyle {\int }_a^{b}f(x)dx>0}$$であることを示せ。

 

《ポイント》

図形的に考えれば直感的に自明ですが、ここでは区分求積法の考え方によって示します。

 

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《解答例》

区分求積の考え方から、
$${\displaystyle {\int }_a^{b}f(x)dx={\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{b-a}{n}}{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}f(a+{\displaystyle \frac{b-a}{n}}k)}}}$$
である。ここで積 ${\displaystyle \frac{b-a}{n}}\cdot f(a+{\displaystyle \frac{b-a}{n}}k)$ は微小な長方形の面積を表している。仮定より、$f(x)$は閉区間$[a,b]$で$0$以上だから、$1\leqq k\leqq n$を満たす任意の$k(\in \mathbb{Z})$に対して、$${\displaystyle \frac{b-a}{n}}\cdot f(a+{\displaystyle \frac{b-a}{n}}k)\geqq 0$$が成立する。さらに、$f(x)$は閉区間$[a,b]$で恒等的に$0$ではないから、ある$k$に対して、$${\displaystyle \frac{b-a}{n}}\cdot f(a+{\displaystyle \frac{b-a}{n}}k)>0$$が成立する。故に、
$${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{b-a}{n}}{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}f(a+{\displaystyle \frac{b-a}{n}}k)>0}}$$即ち、$${\displaystyle {\int }_a^{b}f(x)dx>0}$$となる。

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《コメント》

閉区間$[a,b]$で$f(x)\geqq 0$が常に成り立つならば、$${\displaystyle {\int }_a^{b}f(x)dx\geqq 0}$$です。この事実から以下のことが言えます。

閉区間$[a,b]$において$f(x)\geqq g(x)$が常に成り立つならば、$${\displaystyle {\int }_a^{b}f(x)dx\geqq {\displaystyle {\int }_a^{b}g(x)dx}}$$である。

 

 

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この問題に復習例題は設定していません。

 

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