微積3.2.1 トップへ戻る 次の問題へ 問題3.2.1 次の不定積分を求めよ。 (1)∫x2x2−x−6dx (2)∫2(x−1)(x2+1)dx (3)∫x−1(2−x)3dx (4)∫2x(x−1)(x−2)dx (5)∫5x+3(x+1)(x−1)2dx (6)∫2x(x−1)2(x2+1)dx 《ポイント》 有理式の不定積分計算では部分分数分解が必要になることがあります。未定係数法を使えるようにきちんとマスターしましょう。 《解答例》 (1) ∫x2x2−x−6dx=∫(x2−x−6x2−x−6+x+6x2−x−6)dx=∫(1+x+6(x−3)(x+2))dx 恒等式 x+6(x−3)(x+2)=ax−3+bx+2 を解くと、a=95、b=−45 を得るから、 答=∫(1+95⋅1x−3−45⋅1x+2)dx=x+95log|x−3|−45log|x+2|+C ⋯⋯(答) (2) ∫2(x−1)(x2+1)dx 2(x−1)(x2+1)=ax−1+bx+cx2+1 を解くと、a=1、b=c=−1を得るから、 答 ∫2(x−1)(x2+1)dx=∫(1x−1−x+1x2+1dx=∫(1x−1−xx2+1−1x2+1)dx=log|x−1|−12log|x2+1|−tan−1x+C ⋯⋯(答) (3) 答 ∫x−1(2−x)3dx=∫(−2−x(2−x)3+1(2−x)3)dx=∫(−1(2−x)2+1(2−x)3)dx=−12−x+12(2−x)2+C ⋯⋯(答) (4) ∫2x(x−1)(x−2)dx 2x(x−1)(x−2)=ax+bx−1+cx−2 を解くと、a=1、b=−2、c=1を得るから、 答 ∫2x(x−1)(x−2)dx=∫(1x−2x−1+1x−2)dx=log|x|−2log|x−1|+log|x−2|+C ⋯⋯(答) (=log|x(x−2)(x−1)2|+C) (5) ∫5x+3(x+1)(x−1)2dx 5x+3(x+1)(x−1)2=ax+1+b(x−1)+c(x−1)2 を解くと、a=−12、b=12、c=4を得るから、 答 ∫5x+3(x+1)(x−1)2dx=∫(−12(x+1)+12(x−1)+4(x−1)2)dx=−12log|x+1|+12log|x−1|−4x−1+C ⋯⋯(答) (=12log|x−1x+1|−4x−1+C) (6) ∫2x(x−1)2(x2+1)dx 2x(x−1)2(x2+1)=b(x−1)+c(x−1)2+ax2+1 を解くと、a=−1、b=0、c=1を得るから、 答 ∫2x(x−1)2(x2+1)dx=∫(1(x−1)2−1x2+1)dx=−1x−1−tan−1x+C ⋯⋯(答) 復習例題未設定 トップへ戻る 次の問題へ